3次方程式 $x^3 - 3cx + 1 = 0$ (①) について以下の問題を解く。 (1) 方程式①がただ一つの実数解 $a$ をもつための $c$ に関する必要十分条件を、正の実数 $c_0$ を用いて $c < c_0$ と表す。また、$c < c_0$ のとき、実数解 $a$ の値の取りうる範囲を求める。 (2) $c < c_0$ のとき、方程式①の虚数解を $\alpha + \beta i, \alpha - \beta i$ (iは虚数単位, $\alpha, \beta$ は実数, $\beta \neq 0$) とする。虚数解の絶対値 $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ を実数解 $a$ で表し、$0 < c < c_0$ のとき、$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ の値の取りうる範囲を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3cx + 1 = 0$ (①) について以下の問題を解く。

(1) 方程式①がただ一つの実数解 $a$ をもつための $c$ に関する必要十分条件を、正の実数 $c_0$ を用いて $c < c_0$ と表す。また、$c < c_0$ のとき、実数解 $a$ の値の取りうる範囲を求める。

(2) $c < c_0$ のとき、方程式①の虚数解を $\alpha + \beta i, \alpha - \beta i$ (iは虚数単位, $\alpha, \beta$ は実数, $\beta \neq 0$) とする。虚数解の絶対値 $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ を実数解 $a$ で表し、$0 < c < c_0$ のとき、$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ の値の取りうる範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 - 3cx + 1 = 0$ を $3cx = x^3 + 1$と変形する。

$3c = x^2 + \frac{1}{x}$ がただ一つの実数解を持つ条件を求める。

$f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$ とおく。$f'(x) = 2x - \frac{1}{x^2} = \frac{2x^3 - 1}{x^2}$.

$f'(x) = 0$ より $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

$x > 0$ で考える。$x$ が増加すると $f(x)$ は減少して、その後増加する。

$f(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}) = (\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2 + \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{-2}{3}} + 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{-2}{3}} + 2^{\frac{3}{3}}2^{\frac{-2}{3}} = 2^{\frac{-2}{3}}(1+2) = 3\cdot2^{\frac{-2}{3}}$

$3c < 3 \cdot 2^{-2/3}$であれば実数解は一つ。

$c < 2^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

したがって、$c_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$.

$c<c_0$のとき、 $x^3 - 3cx + 1 = 0$ がただ一つの実数解$a$を持つ。

$a$の値の範囲を調べる。

$c<c_0$なので、$x^3+1=3cx$ のグラフの交点は一つのみ。

$c<0$なら、交点は一つのみで、$a>0$となる。

$0 < c < c_0$ の場合、$x = 0$付近では $x^3 + 1 \approx 1$ であり、$3cx \approx 0$ であるため、$x=0$ 付近に解を持つことはない。

また、$x$ が非常に大きな値を取ると、$x^3$ が支配的となり、$x^3 + 1 > 3cx$ となる。したがって、$a$ はある程度限られた範囲に存在する。

$c=0$とすると$x^3+1 = 0$より$x=-1$.

$c = c_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$のとき、$a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

したがって、$c<c_0$のとき、実数解$a$の取りうる範囲は$-1<a<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$となる。

(2)

$\alpha+\beta i$が解なので$(\alpha+\beta i)^3 - 3c(\alpha+\beta i)+1 = 0$

$\alpha^3 + 3\alpha^2\beta i - 3\alpha\beta^2 - \beta^3 i - 3c\alpha - 3c\beta i + 1 = 0$

$(\alpha^3 - 3\alpha\beta^2 - 3c\alpha + 1) + i(3\alpha^2\beta - \beta^3 - 3c\beta) = 0$

$\alpha^3 - 3\alpha\beta^2 - 3c\alpha + 1 = 0$

$3\alpha^2\beta - \beta^3 - 3c\beta = 0$

$\beta(3\alpha^2 - \beta^2 - 3c) = 0$. $\beta \neq 0$より$3\alpha^2 - \beta^2 - 3c = 0$.

$\beta^2 = 3\alpha^2 - 3c$

$\sqrt{\alpha^2+\beta^2} = \sqrt{\alpha^2 + 3\alpha^2 - 3c} = \sqrt{4\alpha^2 - 3c}$

$\alpha$は実数解$a$とは異なる虚数解の実部なので、$a = -2\alpha$

$\alpha=-\frac{a}{2}$.

$\beta^2 = 3\alpha^2 - 3c = \frac{3}{4}a^2 - 3c$

$\sqrt{\alpha^2+\beta^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3}{4}a^2 - 3c} = \sqrt{a^2 - 3c}$

$a^3-3ca+1=0$より$3c=\frac{a^3+1}{a}$.

$\sqrt{\alpha^2+\beta^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^3+1}{a}} = \sqrt{a^2 - a^2 - \frac{1}{a}} = \sqrt{-\frac{1}{a}}$.

$0<c<c_0$のとき、$-1<a<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$より、$a<-1$。

$-\frac{1}{a} > 0$なので$\sqrt{-\frac{1}{a}}$は実数。

$0 < c < c_0$ のとき、$-1<a<0$.

$a < -1$はないので、$0 < c < c_0$のとき、$a$は負の実数なので、 $-1 < a < 0$ ということはない。 矛盾。

$a^3 - 3ac + 1 = 0$

$a^3 + 1 = 3ac$

$c = \frac{a^3 + 1}{3a}$

$f(x) = x^2 + \frac{1}{x} = 3c$のグラフより、

$0<c<c_0$のとき$-1<a<0$ではない。

虚数解を持つとき、実数解は一つなので、 $-1 < a < 0$はあり得ない。

$c<c_0$なので、$f(x)=3c$は極小値で交わらない。

したがって、 $-1 < a < \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のうち、 $a$ が負であることはない。

$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{-\frac{1}{a}}$

$0 < c < c_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ より、$f(x) = x^2 + \frac{1}{x} = 3c$ のグラフより、$a > \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

$x < 0$ のときに実数解は一つ存在する。

$x^3 + 1 = 3cx$.

$a^2 + \frac{1}{a} = 3c$.

$c = \frac{1}{3}(a^2 + \frac{1}{a})$.

$0 < \frac{1}{3}(a^2 + \frac{1}{a}) < \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

$0 < a^2 + \frac{1}{a} < \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

$\sqrt{-\frac{1}{a}}$ を求める。

3. 最終的な答え

(1)

$c_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

$-1 < a < \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

(2)

$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{-\frac{1}{a}}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}} < \sqrt{-\frac{1}{a}} < \infty$

$0<c<c_0$のとき

$\sqrt[6]{4}<\sqrt{-\frac{1}{a}}<\infty$

とすると、

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}} < -\frac{1}{a}$.

$-\sqrt[3]{4} < a$.

$\frac{1}{3}(x^2 + \frac{1}{x}) = c$

$0 < c < \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

$\sqrt{\alpha^2+\beta^2} = \sqrt{-\frac{1}{a}}$

$x=-2$. $c=\frac{1}{3}(4 - \frac{1}{2}) = \frac{7}{6}$

$f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$.

$\sqrt[6]{4}<\sqrt{-\frac{1}{a}}<\infty$

$1< \sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.