$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、不等式 $\sin x - \cos x < 1$ を解きます。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、不等式 $\sin x - \cos x < 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x - \cos x$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

よって、与えられた不等式は

$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) < 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) < \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = x - \frac{\pi}{4}$ とおくと、 $0 \le x < 2\pi$ より $-\frac{\pi}{4} \le t < \frac{7\pi}{4}$ であり、

$\sin t < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解けばよいことになります。

$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ は $t = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

$-\frac{\pi}{4} \le t < \frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4} < t < \frac{7\pi}{4}$

$x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4}$ より $x < \frac{\pi}{2}$

$x - \frac{\pi}{4} > \frac{3\pi}{4}$ より $x > \pi$

$x - \frac{\pi}{4} \ge -\frac{\pi}{4}$ より $x \ge 0$

$x - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$ より $x < 2\pi$

したがって、不等式を満たす$x$の範囲は

$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ または $\pi < x < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{2}$, $\pi < x < 2\pi$