座標平面上に円C: $x^2 + y^2 - 5ax - 6ay + 28a = 0$ があり、円Cは点A(3, 5)を通る。 (1) $a$ の値を求め、円Cの中心の座標と半径を求めよ。 (2) 点Aを通り、傾きが正の直線$l$とする。直線$l$が円Cによって切り取られる線分の長さが$\sqrt{10}$であるとき、直線$l$の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円C: $x^2 + y^2 - 5ax - 6ay + 28a = 0$ があり、円Cは点A(3, 5)を通る。

(1) $a$ の値を求め、円Cの中心の座標と半径を求めよ。

(2) 点Aを通り、傾きが正の直線$l$とする。直線$l$が円Cによって切り取られる線分の長さが$\sqrt{10}$であるとき、直線$l$の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点A(3, 5)が円C上にあるので、円Cの方程式に代入して$a$を求める。

$3^2 + 5^2 - 5a(3) - 6a(5) + 28a = 0$

$9 + 25 - 15a - 30a + 28a = 0$

$34 - 17a = 0$

$17a = 34$

$a = 2$

次に、$a = 2$ を円Cの方程式に代入して、円Cの中心の座標と半径を求める。

$x^2 + y^2 - 10x - 12y + 56 = 0$

$(x^2 - 10x) + (y^2 - 12y) + 56 = 0$

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 12y + 36) + 56 - 25 - 36 = 0$

$(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 5$

したがって、円Cの中心の座標は(5, 6)、半径は$\sqrt{5}$である。

(2)

点A(3, 5)を通り、傾きが$m$の直線$l$の方程式は、

$y - 5 = m(x - 3)$

$y = mx - 3m + 5$

$mx - y - 3m + 5 = 0$

直線$l$が円Cによって切り取られる線分の長さが$\sqrt{10}$であるとき、円Cの中心(5, 6)と直線$l$の距離$d$と半径$r = \sqrt{5}$の関係は、

$(\frac{\sqrt{10}}{2})^2 + d^2 = r^2$

$\frac{10}{4} + d^2 = 5$

$d^2 = 5 - \frac{5}{2}$

$d^2 = \frac{5}{2}$

$d = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

円Cの中心(5, 6)と直線$mx - y - 3m + 5 = 0$の距離$d$は、

$d = \frac{|5m - 6 - 3m + 5|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|2m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$\frac{|2m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

両辺を2乗して、

$\frac{(2m - 1)^2}{m^2 + 1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$2(4m^2 - 4m + 1) = 5(m^2 + 1)$

$8m^2 - 8m + 2 = 5m^2 + 5$

$3m^2 - 8m - 3 = 0$

$(3m + 1)(m - 3) = 0$

$m = -\frac{1}{3}, 3$

傾きが正なので、$m = 3$

したがって、直線$l$の方程式は、

$y - 5 = 3(x - 3)$

$y - 5 = 3x - 9$

$y = 3x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, 中心(5, 6), 半径$\sqrt{5}$

(2) $y = 3x - 4$