点 $(5,6)$ を通り、円 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 4$ に接する直線 $l$ の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(5,6)$ を通り、円 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 4$ に接する直線 $l$ の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $(5,6)$ を通る直線の方程式を考えます。

傾きがない場合は $x=5$ という直線になり、これは円 $(x-3)^2+(y-1)^2=4$ に接することがわかるので、1つ目の答えは $x=5$となります。よって、1の答えは5です。

次に、傾きが $m$ の場合を考えます。点 $(5,6)$ を通る傾き $m$ の直線の方程式は、$y - 6 = m(x - 5)$ と表せるので、$mx - y - 5m + 6 = 0$ となります。与えられた式と比較すると、 $-5m+6 = -2m+3$となるはずがないので、与えられた式が間違っていると考えられます。ここでは、$mx - y - 5m + 6 = 0$ で考えます。よって、2と3はそれぞれ5と-6です。

円の中心 $(3,1)$ と直線 $mx - y - 5m + 6 = 0$ の距離が、円の半径 $2$ に等しくなるように $m$ の値を定めます。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3m - 1 - 5m + 6|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$

$\frac{|-2m + 5|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

両辺を2乗して

$(-2m + 5)^2 = 4(m^2 + 1)$

$4m^2 - 20m + 25 = 4m^2 + 4$

$-20m = -21$

$m = \frac{21}{20}$

よって、7,8,9,10の答えはそれぞれ、21,/,20です。

$m = \frac{21}{20}$ を $y - 6 = m(x - 5)$ に代入して整理すると、

$y - 6 = \frac{21}{20}(x - 5)$

$20y - 120 = 21x - 105$

$21x - 20y + 15 = 0$

したがって、$l$ の方程式は $21x - 20y + 15 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

1: 5

2: 5

3: -6

4: 2

5: -2

6: 5

7: 21

8: /

9: 20

10:

11: 21

12:

13: 20

14:

15: +

16: 15

$x=5$

$21x-20y+15=0$