座標平面上に直線 $l: y = (2t+1)x - t^2 - t$ がある。ただし、$t$ は実数とする。 (1) $t$ が実数全体の範囲で変化するとき、直線 $l$ が通過する領域を図示せよ。 (2) $t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲で変化するとき、直線 $l$ が通過する領域を図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に直線 $l: y = (2t+1)x - t^2 - t$ がある。ただし、$t$ は実数とする。

(1) $t$ が実数全体の範囲で変化するとき、直線 $l$ が通過する領域を図示せよ。

(2) $t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲で変化するとき、直線 $l$ が通過する領域を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の式を $t$ について整理する。

$y = (2t+1)x - t^2 - t$

$t^2 + (2x-1)t + (y-x) = 0$

$t$ が実数全体を動くので、$t$ についての2次方程式が実数解を持つ条件を考える。

判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ となる。

$D = (2x-1)^2 - 4(y-x) \ge 0$

$4x^2 - 4x + 1 - 4y + 4x \ge 0$

$4x^2 - 4y + 1 \ge 0$

$4y \le 4x^2 + 1$

$y \le x^2 + \frac{1}{4}$

したがって、$t$ が実数全体を動くとき、直線 $l$ が通過する領域は $y \le x^2 + \frac{1}{4}$ となる。

(2)

$t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲で変化するとき、直線 $l$ が通過する領域を考える。

$f(t) = t^2 + (2x-1)t + (y-x)$ とおく。

$-1 \le t \le 0$ において少なくとも1つの実数解を持つ条件を求める。

i) $f(-1) \le 0$ または $f(0) \le 0$ の場合

$f(-1) = 1 - (2x-1) + (y-x) = 2 - 3x + y \le 0$

$y \le 3x - 2$

$f(0) = y - x \le 0$

$y \le x$

ii) $f(-1) > 0$ かつ $f(0) > 0$ で、$-1 \le t \le 0$ に解を持つ場合

判別式 $D \ge 0$ かつ $-1 \le -\frac{2x-1}{2} \le 0$

$y > 3x - 2$ かつ $y > x$ かつ $y \le x^2 + \frac{1}{4}$ かつ $-1 \le -\frac{2x-1}{2} \le 0$

$-1 \le -\frac{2x-1}{2} \le 0$

$-2 \le -2x + 1 \le 0$

$-3 \le -2x \le -1$

$\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$

$y \le x^2 + \frac{1}{4}$ で、$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき $y = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$y > 3x - 2$ で、$x = \frac{1}{2}$ のとき $y > \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき $y > \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$

$y > x$ で、$x = \frac{1}{2}$ のとき $y > \frac{1}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき $y > \frac{3}{2}$

領域は $y \le x^2 + \frac{1}{4}$ かつ $y \le x$ または $y \le 3x - 2$ と $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$

まとめると、

$y \le x$ (ただし、$x \le 1$) または $y \le 3x-2$ (ただし，$x \ge 1$) と $y \le x^2+\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ で $y \le x^2+\frac{1}{4}$

境界線は $y = x^2 + \frac{1}{4}$, $y = x$, $y = 3x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $y \le x^2 + \frac{1}{4}$

(2)

$x \le \frac{1}{2}$ のとき $y \le x$

$\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ のとき $y \le x^2 + \frac{1}{4}$

$\frac{3}{2} \le x$ のとき $y \le 3x - 2$