質量 $m$ の小球を時刻 $t=0$ に $y=0$ の位置から初速度 $v_0$ で鉛直上向きに投げ上げる。小球は速度に比例する空気抵抗 $f$ を受け、その比例定数を $b$ とする。 (a) 鉛直上向きに $y$ 軸をとり、小球の運動方程式を立てる。 (b) 運動方程式を解き、時刻 $t$ のボールの速度 $v(t)$ を求め、そのグラフを図示する。また、投げ上げ直後の速度の近似式を求め、この近似を同じグラフ上に図示する。 (c) 加速度の時間変化を求め、そのグラフを図示する。また、投げ上げ直後の近似式を求め、グラフ上に図示する。 (d) 小球が最高点に達するまでの時間を求める。 (e) 特別な初速度 $v_0 = \frac{mg}{b}$ で小球を投げ上げた。空気抵抗のある場合の最高点 $h$ と、空気抵抗がない場合の最高点 $h'$ を求め、その比 $\frac{h}{h'}$ を求め、この $v_0$ がどう特別なのかを考察する。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小球を時刻 $t=0$ に $y=0$ の位置から初速度 $v_0$ で鉛直上向きに投げ上げる。小球は速度に比例する空気抵抗 $f$ を受け、その比例定数を $b$ とする。

(a) 鉛直上向きに $y$ 軸をとり、小球の運動方程式を立てる。

(b) 運動方程式を解き、時刻 $t$ のボールの速度 $v(t)$ を求め、そのグラフを図示する。また、投げ上げ直後の速度の近似式を求め、この近似を同じグラフ上に図示する。

(c) 加速度の時間変化を求め、そのグラフを図示する。また、投げ上げ直後の近似式を求め、グラフ上に図示する。

(d) 小球が最高点に達するまでの時間を求める。

(e) 特別な初速度 $v_0 = \frac{mg}{b}$ で小球を投げ上げた。空気抵抗のある場合の最高点 $h$ と、空気抵抗がない場合の最高点 $h'$ を求め、その比 $\frac{h}{h'}$ を求め、この $v_0$ がどう特別なのかを考察する。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式を立てる。

小球に働く力は、重力 $mg$ (下向き) と空気抵抗 $f = -bv$ (運動方向と逆向き) である。したがって、運動方程式は次のようになる。

$m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(b) 運動方程式を解く。

$\frac{dv}{dt} = -g - \frac{b}{m}v$

$\frac{dv}{g + \frac{b}{m}v} = -dt$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dv}{g + \frac{b}{m}v} = \int -dt$

$\frac{m}{b} \ln(g + \frac{b}{m}v) = -t + C$

初期条件 $t=0$ で $v=v_0$ より、

$\frac{m}{b} \ln(g + \frac{b}{m}v_0) = C$

したがって、

$\frac{m}{b} \ln(g + \frac{b}{m}v) = -t + \frac{m}{b} \ln(g + \frac{b}{m}v_0)$

$\ln(g + \frac{b}{m}v) = -\frac{b}{m}t + \ln(g + \frac{b}{m}v_0)$

$g + \frac{b}{m}v = (g + \frac{b}{m}v_0)e^{-\frac{b}{m}t}$

$v(t) = \frac{m}{b} (g + \frac{b}{m}v_0)e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b}$

$v(t) = (v_0 + \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b}$

$v(t)$ のグラフは、指数関数的に減少し、時間が十分に経つと $-\frac{mg}{b}$ に漸近する。

投げ上げ直後 (small $t$) の近似:

$e^{-\frac{b}{m}t} \approx 1 - \frac{b}{m}t$ を用いると、

$v(t) \approx (v_0 + \frac{mg}{b})(1 - \frac{b}{m}t) - \frac{mg}{b} = v_0 - gt$

(c) 加速度の時間変化を求める。

$a(t) = \frac{dv}{dt} = -\frac{b}{m}(v_0 + \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

$a(t) = - (g + \frac{b}{m}v_0) \frac{b}{m} e^{-\frac{b}{m}t}$

$a(t) = -g - \frac{b}{m}v(t)= -g - \frac{b}{m}((v_0 + \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b})$

$a(t)$ のグラフは、指数関数的に減少し、時間が十分に経つと $-g$ に漸近する。

投げ上げ直後 (small $t$) の近似:

$a(t) \approx -g-\frac{b}{m}v_0$

$e^{-\frac{b}{m}t} \approx 1 - \frac{b}{m}t$ を用いると、

$a(t)=-(g+\frac{b}{m}v_0) e^{-\frac{b}{m}t} \approx -(g+\frac{b}{m}v_0)(1 - \frac{b}{m}t)$

$a(0) = \frac{dv}{dt}|_{t=0} = -g - \frac{bv_0}{m}$

(d) 最高点に達するまでの時間を求める。

最高点では $v(t) = 0$ となるので、

$0 = (v_0 + \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b}$

$e^{-\frac{b}{m}t} = \frac{\frac{mg}{b}}{v_0 + \frac{mg}{b}} = \frac{mg}{bv_0 + mg}$

$-\frac{b}{m}t = \ln(\frac{mg}{bv_0 + mg})$

$t = -\frac{m}{b} \ln(\frac{mg}{bv_0 + mg}) = \frac{m}{b} \ln(\frac{bv_0 + mg}{mg}) = \frac{m}{b} \ln(1 + \frac{bv_0}{mg})$

(e) 特別な初速度 $v_0 = \frac{mg}{b}$ の場合。

空気抵抗がある場合の最高点 $h$ を求める。

$v(t) = (\frac{mg}{b} + \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b} = \frac{2mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b}$

最高点に達する時間は、dより

$t = \frac{m}{b} \ln(1 + \frac{b}{mg} \frac{mg}{b}) = \frac{m}{b}\ln(2)$

位置 $y(t)$ は $v(t)$ を積分して求める。

$y(t) = \int_0^t v(t') dt' = \int_0^t ((v_0 + \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t'} - \frac{mg}{b}) dt'$

$y(t) = (v_0 + \frac{mg}{b})(-\frac{m}{b}) [e^{-\frac{b}{m}t'}]_0^t - \frac{mg}{b}t$

$y(t) = -\frac{m}{b} (v_0 + \frac{mg}{b}) (e^{-\frac{b}{m}t} - 1) - \frac{mg}{b}t$

$h = y(\frac{m}{b}\ln 2) = -\frac{m}{b} (\frac{mg}{b} + \frac{mg}{b}) (e^{-\frac{b}{m}\frac{m}{b}\ln 2} - 1) - \frac{mg}{b} (\frac{m}{b}\ln 2)$

$h = -\frac{2m^2g}{b^2} (\frac{1}{2} - 1) - \frac{m^2g}{b^2} \ln 2$

$h = \frac{m^2g}{b^2} - \frac{m^2g}{b^2} \ln 2 = \frac{m^2g}{b^2} (1 - \ln 2)$

空気抵抗がない場合の最高点 $h'$ を求める。

$v(t) = v_0 - gt = \frac{mg}{b} - gt$

最高点に達する時間 $t'$ は $v(t')=0$ より、

$t' = \frac{mg}{bg}$

$h' = \frac{mg}{b} t' - \frac{1}{2}gt'^2 = \frac{mg}{b} \frac{m}{b} - \frac{1}{2}g (\frac{m}{b})^2 = \frac{m^2g}{b^2} - \frac{m^2g}{2b^2} = \frac{m^2g}{2b^2}$

$\frac{h}{h'} = \frac{\frac{m^2g}{b^2} (1 - \ln 2)}{\frac{m^2g}{2b^2}} = 2(1 - \ln 2)$

3. 最終的な答え

(a) $m\frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(b) $v(t) = (v_0 + \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b}$ , $v(t) \approx v_0 - gt$

(c) $a(t)=-(g+\frac{b}{m}v_0) e^{-\frac{b}{m}t}$, $a(t) \approx -g-\frac{b}{m}v_0$

(d) $t = \frac{m}{b} \ln(1 + \frac{bv_0}{mg})$

(e) $h = \frac{m^2g}{b^2} (1 - \ln 2)$, $h' = \frac{m^2g}{2b^2}$, $\frac{h}{h'} = 2(1 - \ln 2)$

$v_0 = \frac{mg}{b}$ は、終端速度に等しい初速度である。