媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = 4\cos t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = 4\cos t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は積分で求められます。まず、$x$ の範囲を確認します。

$t=0$ のとき、$x = 4\cos 0 = 4$

$t=\frac{\pi}{2}$ のとき、$x = 4\cos \frac{\pi}{2} = 0$

よって、$x$ は 4 から 0 まで減少します。したがって、積分は次のようになります。

$S = -\int_4^0 y\, dx$

$y = \sin 2t$ であり、$x = 4\cos t$ より $\frac{dx}{dt} = -4\sin t$ であるため、$dx = -4\sin t\, dt$ となります。したがって、

$S = -\int_4^0 y\, dx = - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t) \cdot (-4 \sin t) \, dt = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t) \sin t \, dt$

$\sin(2t) = 2\sin t \cos t$ なので、

$S = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2 t \cos t \, dt = 8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos t \, dt$

$u = \sin t$ と置換すると、$du = \cos t \, dt$。$t=0$ のとき $u = \sin 0 = 0$。$t=\frac{\pi}{2}$ のとき $u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$。

$S = 8 \int_0^1 u^2 \, du = 8 \left[ \frac{1}{3}u^3 \right]_0^1 = 8 \left( \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 \right) = 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$