円錐の展開図が与えられており、以下の問いに答える必要があります。 (1) 弧ABの長さを求めよ。 (2) 側面積を求めよ。 (3) 底面の円の半径を求めよ。 (4) 表面積を求めよ。

1. 問題の内容

円錐の展開図が与えられており、以下の問いに答える必要があります。

(1) 弧ABの長さを求めよ。

(2) 側面積を求めよ。

(3) 底面の円の半径を求めよ。

(4) 表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 弧ABの長さを求める。

弧ABは、半径6cmの円周の一部であり、中心角は300°である。円周の長さは $2\pi r$ であり、この場合は $2\pi \times 6 = 12\pi$ cmである。弧ABの長さは、円周の300/360に相当する。

$AB = 12\pi \times \frac{300}{360} = 12\pi \times \frac{5}{6} = 10\pi$

(2) 側面積を求める。

側面積は、展開図の扇形の面積に等しい。扇形の面積は $\pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$ で与えられる。この場合は、半径 $r=6$ cm, 中心角 $\theta = 300^\circ$ なので、

$側面積 = \pi \times 6^2 \times \frac{300}{360} = 36\pi \times \frac{5}{6} = 30\pi$

(3) 底面の円の半径を求める。

底面の円周の長さは、弧ABの長さに等しい。底面の円の半径を $r$ とすると、$2\pi r = 10\pi$ より、

$r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$

(4) 表面積を求める。

表面積は、側面積と底面積の和である。底面積は $\pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi$ である。したがって、表面積は、

$表面積 = 側面積 + 底面積 = 30\pi + 25\pi = 55\pi$

3. 最終的な答え

(1) 弧ABの長さ: $10\pi$ cm

(2) 側面積: $30\pi$ cm$^2$

(3) 底面の円の半径: $5$ cm

(4) 表面積: $55\pi$ cm$^2$