8個の文字 A, A, B, B, C, C, D, E を横一列に並べるとき、以下の問いに答えます。 (1) 並べ方は全部で何通りあるか。 (2) A と A が隣り合い、B と B が隣り合い、C と C が隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。 (3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

8個の文字 A, A, B, B, C, C, D, E を横一列に並べるとき、以下の問いに答えます。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) A と A が隣り合い、B と B が隣り合い、C と C が隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。

(3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方

8個の文字の中に、A, B, C がそれぞれ2個ずつあるので、全体の並べ方は、同じものを含む順列の公式を用いて計算します。

$\frac{8!}{2!2!2!}$

(2) 同じ文字が隣り合う場合

A と A, B と B, C と C がそれぞれ隣り合うように並べる場合、AA, BB, CC をそれぞれ1つのまとまりとして考え、AA, BB, CC, D, E の5つのものを並べると考えます。この5つのものの並べ方は 5! 通りです。

$5!$

(3) 同じ文字が全く隣り合わない場合

包除原理を利用します。

まず、全体の場合の数から、少なくとも1組が隣り合う場合を引きます。

少なくとも1組が隣り合う場合を計算するため、

$N(A \cup B \cup C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A \cap B) - N(B \cap C) - N(C \cap A) + N(A \cap B \cap C)$

ここで、AはAとAが隣り合う場合、BはBとBが隣り合う場合、CはCとCが隣り合う場合を表します。

$N(A) = N(B) = N(C) = \frac{7!}{2!2!}$

$N(A \cap B) = N(B \cap C) = N(C \cap A) = \frac{6!}{2!}$

$N(A \cap B \cap C) = 5!$

よって、少なくとも1組が隣り合う場合は、

$3 \times \frac{7!}{2!2!} - 3 \times \frac{6!}{2!} + 5!$

同じ文字が全く隣り合わない場合の数は、全体の場合の数から、少なくとも1組が隣り合う場合を引いて計算します。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{40320}{8} = 5040$ 通り

(2) $5! = 120$ 通り

(3) $\frac{8!}{2!2!2!} - (3 \times \frac{7!}{2!2!} - 3 \times \frac{6!}{2!} + 5!)$

$= 5040 - (3 \times \frac{5040}{4} - 3 \times 360 + 120)$

$= 5040 - (3 \times 1260 - 1080 + 120)$

$= 5040 - (3780 - 1080 + 120)$

$= 5040 - 2820 = 2220$ 通り