4個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の積をXとする。 (1) Xが偶数となる確率を求めよ。 (2) Xが25の倍数となる確率を求めよ。 (3) Xが100の倍数となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

4個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の積をXとする。

(1) Xが偶数となる確率を求めよ。

(2) Xが25の倍数となる確率を求めよ。

(3) Xが100の倍数となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Xが偶数となる確率

Xが偶数となるのは、少なくとも1つのサイコロの目が偶数である場合です。

余事象を考え、Xが奇数となる確率を求めます。Xが奇数となるのは、すべてのサイコロの目が奇数である場合です。

各サイコロの目が奇数となる確率は $\frac{1}{2}$ です。

したがって、4つのサイコロの目がすべて奇数となる確率は $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ です。

Xが偶数となる確率は、1からXが奇数となる確率を引いたものです。

$1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

(2) Xが25の倍数となる確率

Xが25の倍数となるのは、4つのサイコロの目に少なくとも2つの5が含まれるか、または5の目が1つ以上あり、かつ、その中の1つ以上が5の倍数である場合です。

（i）2つの5が出る場合：5が2つ、その他2つ

5が2つ出る確率は、${}_4 C_2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296}$

（ii）3つの5が出る場合：5が3つ、その他1つ

5が3つ出る確率は、${}_4 C_3 (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296}$

（iii）4つの5が出る場合：5が4つ

5が4つ出る確率は、$(\frac{1}{6})^4 = \frac{1}{1296}$

（iv）1つの5が出て、他の1つが5の倍数（10の倍数）である場合：５と５の倍数とその他2つ

５が１つ出て、もう一つが５の倍数となるには、もうひとつが５の倍数である必要があり、それは５しかないため、すでに計算済み。

合計確率は $\frac{150}{1296} + \frac{20}{1296} + \frac{1}{1296} = \frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$

(3) Xが100の倍数となる確率

Xが100の倍数となるには、

(i) 4つの数のうち、1つが100の倍数である(ありえない)。

(ii) 4つの数のうち、1つが4の倍数、1つが25の倍数。25の倍数は5のみなので、1つが4の倍数(4)、2つが5である。

(iii) 4つの数のうち、2つが10の倍数（2*5の組み合わせが2つ）。2と5がそれぞれ2つずつ。

(iv) 4つの数のうち、1つが20の倍数（4*5）、1つが5の倍数。つまり4,5,5,その他。

(v) 4つの数のうち、1つが50の倍数（2*25）、つまり、2,5,5,その他。

場合分けして計算するのは大変なので、直接計算する。

100 = 2*2*5*5なので、少なくとも2つの2と2つの5が必要。

4つのサイコロの目の組み合わせを考える。

(i) 5,5,2,2が出る場合：$\frac{4!}{2!2!} (\frac{1}{6})^4 = 6 (\frac{1}{6})^4 = \frac{6}{1296}$

(ii) 5,5,4,x（xは1,2,3,4,5,6のいずれか）xが2の倍数でない場合：$\frac{4!}{2!} (\frac{1}{6})^2 (\frac{1}{6}) (\frac{1}{6}) = 12 * \frac{1}{6^4} = \frac{12}{1296}$

xが奇数の場合($x=1,3$) : 2パターン * $\frac{4!}{2!} * (\frac{1}{6})^4 = \frac{24}{1296}$

xが2の場合：5,5,4,2：$\frac{4!}{2!} * (\frac{1}{6})^4 = \frac{12}{1296}$

(iii) 5,5,6,x($x=2,4,6$)

$x=2,4$: $\frac{4!}{2!} * (\frac{1}{6})^4 = \frac{12}{1296}$

$x=6$: $\frac{4!}{2!} * (\frac{1}{6})^4 = \frac{12}{1296}$

(iv)5,5,その他はダメ

4,5,5,x

$\frac{171}{1296}$

合計確率は $\frac{3}{36}=\frac{8}{144}$

3. 最終的な答え

(1) Xが偶数となる確率: $\frac{15}{16}$

(2) Xが25の倍数となる確率: $\frac{19}{144}$

(3) Xが100の倍数となる確率: $\frac{73}{1296}$