2つのチームGとHが6回試合をする。各試合でHが勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Gが勝つ確率は$\frac{1}{3}$であり、引き分けはないものとする。 (1) 6回の試合終了後に、Hが合計3勝している確率を求めよ。 (2) GとHのそれぞれの勝ち数が、(はじめを除き) 6回後に初めて等しくなる確率を求めよ。 (3) 6回の各試合終了後に、HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

2つのチームGとHが6回試合をする。各試合でHが勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Gが勝つ確率は$\frac{1}{3}$であり、引き分けはないものとする。

(1) 6回の試合終了後に、Hが合計3勝している確率を求めよ。

(2) GとHのそれぞれの勝ち数が、(はじめを除き) 6回後に初めて等しくなる確率を求めよ。

(3) 6回の各試合終了後に、HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 6回の試合でHが3勝する確率

これは二項分布の問題なので、二項分布の確率質量関数を利用する。

Hが3勝する確率は、

$P(X=3) = \binom{6}{3} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^3$

ここで、$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、

$P(X=3) = 20 \times (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{1}{3})^3 = 20 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{27} = \frac{160}{729}$

(2) 6回後に初めてGとHの勝ち数が等しくなる確率

6回後に勝ち数が等しくなるには、Hが3勝、Gが3勝する必要がある。しかし、初めて等しくなる必要があるため、1回目から5回目までは勝ち数が等しくなってはいけない。

全事象から勝ち数が並ぶ組み合わせを引いて考える。

1回目から5回目まででHがリードしている場合とGがリードしている場合を考える。

* Hが常にリードしている場合：Hが1勝以上リードする必要があるため、Hが4勝以上する必要がある。ありえない。

* Gが常にリードしている場合：Gが1勝以上リードする必要があるため、Gが4勝以上する必要がある。ありえない。

初めにHが勝つ場合、その後HがGに追いつかれるのは、Hがn回勝つまでにGもn回勝つ必要がある。

初めにGが勝つ場合も同様に考える。

場合の数を考えると複雑になるため、今回は別の解き方を採用する。

6回でHが3勝3敗となる場合の数を考え、その中で初めて3勝3敗となるような場合を考える。

全事象から、途中で勝ち数が並んでしまう場合を除外すれば良い。

Hの勝ち数を＋1, Gの勝ち数を−1として、原点からスタートしてx軸上を移動する。

6回後に原点に戻ってくるが、途中で原点に触れない経路の数を数えれば良い。

これはカタラン数という数列に関連する問題である。しかし、カタラン数をそのまま適用するのは難しい。

今回は、地道に数え上げることにする。

初めにHが勝った場合、5回の試合でHが2勝、Gが3勝する必要がある。

初めにGが勝った場合、5回の試合でHが3勝、Gが2勝する必要がある。

漸化式で考える。

$P_n$をn回後に初めて勝ち数が並ぶ確率とする。

$P_0 = 0$

$P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$P_4 = (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 \times 2 + (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 \times 2$

しかし、これも良い解法ではない。

6回後に初めて勝ち数が並ぶ確率を求める。

Hの勝ち数を＋1, Gの勝ち数を−1として、経路を考える。

6回後に0に戻ってくるが、途中で0に触れない経路の数を数える。

全経路から0に触れる経路を引く。

全経路は、$\binom{6}{3} = 20$通り。

反射の原理を用いる。

6回後に初めて勝ち数が並ぶ確率は、$2 \times (\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}) ^3$

$2 \times \frac{8}{729} = \frac{16}{729}$

(3) 6回の各試合終了後に、HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率

これは、Hが毎回Gより多く勝つ必要がある。

Hが毎回勝つ必要がある。

つまり、Hが6連勝する必要がある。

確率は $(\frac{2}{3})^6 = \frac{64}{729}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{160}{729}$

(2) $\frac{16}{729}$

(3) $\frac{64}{729}$