* \[1] 生徒4人と先生3人がいる。 (1) この7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りあるか。 (2) この7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか。 (3) この7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。 (4) この7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りあるか。 * \[2] 右の図のA地点からB地点へ行く。 (1) 最短経路は何通りあるか。 (2) P地点を通っていく最短経路は何通りあるか。

はい、承知しました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

* \[1] 生徒4人と先生3人がいる。

(1) この7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りあるか。

(2) この7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか。

(3) この7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

(4) この7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りあるか。

* \[2] 右の図のA地点からB地点へ行く。

(1) 最短経路は何通りあるか。

(2) P地点を通っていく最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* \[1]

(1) まず、生徒4人をひとまとめにして1人と考えると、合計で4人（生徒のグループ1つと先生3人）を並べることになるので、並べ方は$4! = 24$通り。次に、生徒4人の中での並び方は$4! = 24$通り。したがって、生徒4人が隣り合う並び方は、$24 \times 24 = 576$通り。

(2) まず、生徒4人を並べる。並べ方は$4! = 24$通り。次に、生徒4人の間と両端の5か所から3か所を選んで先生を配置する。選び方は$_{5}C_{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。最後に、先生3人の並べ方は$3! = 6$通り。したがって、先生どうしが隣り合わない並び方は、$24 \times 10 \times 6 = 1440$通り。

(3) 生徒2人の選び方は$_{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。先生2人の選び方は$_{3}C_{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。したがって、生徒2人と先生2人を選ぶ選び方は、$6 \times 3 = 18$通り。

(4) 3人を選ぶ総数は$_{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。3人とも生徒を選ぶ選び方は$_{4}C_{3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通り。したがって、少なくとも1人は先生である選び方は、$35 - 4 = 31$通り。

* \[2]

(1) A地点からB地点への最短経路は、右に5回、上に3回移動する順列の数と等しい。したがって、最短経路は$_{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

(2) A地点からP地点への最短経路は、右に3回、上に2回移動する順列の数と等しい。したがって、A地点からP地点への最短経路は$_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。P地点からB地点への最短経路は、右に2回、上に1回移動する順列の数と等しい。したがって、P地点からB地点への最短経路は$_{3}C_{1} = 3$通り。したがって、P地点を通っていく最短経路は、$10 \times 3 = 30$通り。

3. 最終的な答え

* \[1]

(1) 576通り

(2) 1440通り

(3) 18通り

(4) 31通り

* \[2]

(1) 56通り

(2) 30通り