12本のくじの中に3本の当たりくじが入っている。引いたくじを毎回元に戻して、1本ずつ3回引くとき、当たりくじが1回だけ出る確率を求める。

1. 問題の内容

12本のくじの中に3本の当たりくじが入っている。引いたくじを毎回元に戻して、1本ずつ3回引くとき、当たりくじが1回だけ出る確率を求める。

2. 解き方の手順

くじを引いて元に戻すので、各回の試行は独立である。

当たりを引く確率は $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ 、外れを引く確率は $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ である。

1回だけ当たるパターンは、次の3通り。

* 1回目に当たり、2回目、3回目に外れる。

* 1回目に外れ、2回目に当たり、3回目に外れる。

* 1回目、2回目に外れ、3回目に当たる。

それぞれの確率を計算する。

* 1回目に当たり、2回目、3回目に外れる確率: $\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

* 1回目に外れ、2回目に当たり、3回目に外れる確率: $\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

* 1回目、2回目に外れ、3回目に当たる確率: $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$

したがって、1回だけ当たる確率は、これらの確率の和である。

$\frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} = \frac{27}{64}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{64}$