この問題は、組み合わせと確率に関する問題です。 (1) 生徒4人と先生3人の合計7人が並ぶ場合の数、特定の条件を満たす並び方の数 (2) 図のA地点からB地点へ行く最短経路の数、および特定の地点Pを通る最短経路の数 (3) 1から5までの数字が書かれたカード15枚から2枚を引くときの確率 をそれぞれ求めるものです。

1. 問題の内容

この問題は、組み合わせと確率に関する問題です。

(1) 生徒4人と先生3人の合計7人が並ぶ場合の数、特定の条件を満たす並び方の数

(2) 図のA地点からB地点へ行く最短経路の数、および特定の地点Pを通る最短経路の数

(3) 1から5までの数字が書かれたカード15枚から2枚を引くときの確率

をそれぞれ求めるものです。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 生徒4人をひとまとめにして、1つのグループと考える。すると、先生3人と生徒のグループの合計4つを並べる並び方は $4!$ 通り。さらに、生徒4人の中での並び方は $4!$ 通り。したがって、生徒4人が隣り合う並び方は $4! \times 4! = 24 \times 24$ 通り。

(2) まず、生徒4人を並べる。並び方は $4!$ 通り。次に、生徒の間または端の5か所のうち3か所を選び、先生を並べる。選び方は ${}_5P_3$ 通り。したがって、先生どうしが隣り合わない並び方は $4! \times {}_5P_3 = 24 \times (5 \times 4 \times 3)$ 通り。

(3) 生徒2人を選ぶ選び方は ${}_4C_2$ 通り。先生2人を選ぶ選び方は ${}_3C_2$ 通り。したがって、生徒2人と先生2人を選ぶ選び方は ${}_4C_2 \times {}_3C_2$ 通り。

(4) 3人を選ぶすべての選び方は ${}_7C_3$ 通り。3人とも生徒である選び方は ${}_4C_3$ 通り。少なくとも1人が先生である選び方は、すべての場合から3人とも生徒である場合を引けばよいので、${}_7C_3 - {}_4C_3$ 通り。

[2]

(1) A地点からB地点へ行くには、右に5回、上に3回移動する必要がある。したがって、最短経路は $\frac{8!}{5!3!}$ 通り。

(2) A地点からP地点へ行くには、右に2回、上に1回移動する必要がある。P地点からB地点へ行くには、右に3回、上に2回移動する必要がある。したがって、P地点を通る最短経路は $\frac{3!}{2!1!} \times \frac{5!}{3!2!}$ 通り。

[3]

1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、合計15枚ある。2枚を引く。

(1) 奇数は1, 3, 5の3種類。それぞれ3枚ずつあるので、奇数のカードは9枚。偶数は2, 4の2種類。それぞれ3枚ずつあるので、偶数のカードは6枚。

2枚のカードの引き方は全部で ${}_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ 通り。

1枚だけ奇数である引き方は $9 \times 6 = 54$ 通り。

したがって、1枚だけ奇数である確率は $\frac{54}{105}$。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率は、1 - (2枚とも偶数である確率)。

2枚とも偶数である引き方は ${}_{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

2枚とも偶数である確率は $\frac{15}{105} = \frac{1}{7}$。

したがって、少なくとも1枚が奇数である確率は $1 - \frac{15}{105} = \frac{90}{105}$。

3. 最終的な答え

[1]

(1) アイウ = 576

(2) エオカキ = 720

(3) クケ = 18

(4) コサ = 31

[2]

(1) シスセ = 56

(2) ソタ = 30

[3]

(1) チツ/テト = 54/105 = 18/35

(2) ナ/ニ = 90/105 = 6/7