数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 4n + 5$ および初期条件 $a_1 = 6$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、解答の形式は $a_n = \boxed{10} \cdot \boxed{11}^{n-1} + \boxed{12} n - 1$ である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 4n + 5$ および初期条件 $a_1 = 6$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、解答の形式は $a_n = \boxed{10} \cdot \boxed{11}^{n-1} + \boxed{12} n - 1$ である。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 4n + 5$ を変形して、階差数列を求めやすくする。

$a_{n+1} - f(n+1) = 2(a_n - f(n))$となるように、一次式 $f(n)=An+B$ を仮定する。

$a_{n+1} - A(n+1) - B = 2(a_n - An - B)$

$a_{n+1} = 2a_n - 2An - 2B + A(n+1) + B$

$a_{n+1} = 2a_n - An - B + A$

与えられた漸化式と比較すると、$-4n + 5 = -An - B + A$ より、

$A = 4$ かつ $5 = -B + A$。

したがって、$B = A - 5 = 4 - 5 = -1$。

よって、$f(n) = 4n - 1$ となる。

$a_{n+1} - 4(n+1) + 1 = 2(a_n - 4n + 1)$

$b_n = a_n - 4n + 1$ とおくと、

$b_{n+1} = 2b_n$

これは、数列$\{b_n\}$が公比2の等比数列であることを示す。

$b_1 = a_1 - 4(1) + 1 = 6 - 4 + 1 = 3$

$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = b_n + 4n - 1 = 3 \cdot 2^{n-1} + 4n - 1$

よって、$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} + 4n - 1$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} + 4n - 1$

したがって、

10: 3

11: 2

12: 4

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} + 4n - 1$