複数の問題があります。 問題1は、関数 $f(x) = 3x^2$ について、指定された区間における平均変化率と、ある点での微分係数を求める問題です。 問題2は、2つの極限値を計算する問題です。 問題3は、半径と中心角が与えられた扇形の弧の長さと面積を求める問題です。 問題4は、三角関数の値が与えられたときに、他の三角関数の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

複数の問題があります。

問題1は、関数 $f(x) = 3x^2$ について、指定された区間における平均変化率と、ある点での微分係数を求める問題です。

問題2は、2つの極限値を計算する問題です。

問題3は、半径と中心角が与えられた扇形の弧の長さと面積を求める問題です。

問題4は、三角関数の値が与えられたときに、他の三角関数の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 平均変化率は $\frac{f(1) - f(-2)}{1 - (-2)}$ で計算します。$f(1) = 3(1)^2 = 3$、$f(-2) = 3(-2)^2 = 12$なので、平均変化率は $\frac{3 - 12}{1 - (-2)} = \frac{-9}{3} = -3$です。

(2) 平均変化率は $\frac{f(a) - f(1)}{a - 1}$で計算します。$f(a) = 3a^2$なので、平均変化率は $\frac{3a^2 - 3}{a - 1} = \frac{3(a^2 - 1)}{a - 1} = \frac{3(a - 1)(a + 1)}{a - 1} = 3(a + 1)$です。

(3) 微分係数 $f'(-1)$ は、$f'(x) = 6x$ より、$f'(-1) = 6(-1) = -6$です。

問題2：

(1) $\lim_{x \to 1} (x^2 - 4)$ は、$x$ を 1 に近づけると、$1^2 - 4 = -3$ になります。

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}$ は、まず分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$

したがって、$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 1)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$です。

問題3：

弧の長さ $l$ は $l = r\theta$ で計算します。ここで、$r = 4$、$\theta = \frac{2}{3}\pi$ なので、$l = 4 \cdot \frac{2}{3}\pi = \frac{8}{3}\pi$です。

面積 $S$ は $S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で計算します。$r = 4$、$\theta = \frac{2}{3}\pi$ なので、$S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{2}{3}\pi = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{2}{3}\pi = \frac{16}{3}\pi$です。

問題4：

(1) $\sin \alpha = \frac{4}{5} > 0$ かつ $\cos \alpha < 0$ なので、$\alpha$ は第2象限の角です。

(2) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$です。$\cos \alpha < 0$ なので、$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$です。

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$です。

(3) $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ です。$\sin \beta = \frac{2}{3}$ なので、$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$です。

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{15} + \frac{6}{15} = \frac{4\sqrt{5} + 6}{15}$です。

(4) $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25}$です。

$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2}} = \pm\sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$ です。$\alpha$は第2象限の角なので、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$。よって $\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$となり、$\sin \frac{\alpha}{2}>0$。したがって$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) -3

(2) 3(a + 1)

(3) -6

問題2：

(1) -3

(2) 3/2

問題3：

弧の長さ: $\frac{8}{3}\pi$

面積: $\frac{16}{3}\pi$

問題4：

(1) 第2象限

(2) $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$, $\tan \alpha = -\frac{4}{3}$

(3) $\frac{4\sqrt{5} + 6}{15}$

(4) $\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$, $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$