$\log_{10} 2 = 0.3010$ を用いて、$2^{40}$ の桁数を求めよ。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.3010$ を用いて、$2^{40}$ の桁数を求めよ。

2. 解き方の手順

$2^{40}$ の桁数を求めるには、$\log_{10} 2^{40}$ を計算し、その整数部分に1を加えることで求められます。

まず、対数の性質を用いて $\log_{10} 2^{40}$ を変形します。

$\log_{10} 2^{40} = 40 \log_{10} 2$

問題文で与えられた $\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入します。

$\log_{10} 2^{40} = 40 \times 0.3010 = 12.04$

$\log_{10} 2^{40}$ の整数部分は 12 なので、$2^{40}$ の桁数は $12 + 1 = 13$ です。

3. 最終的な答え

13桁