関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数がもとの関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数がもとの関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数を求めるために、$x$ と $y$ を入れ替えて、$y$ について解きます。

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます：

$x = \frac{2y+1}{y-p}$

次に、$y$ について解きます：

$x(y-p) = 2y+1$

$xy - xp = 2y + 1$

$xy - 2y = xp + 1$

$y(x-2) = xp + 1$

$y = \frac{xp+1}{x-2}$

逆関数がもとの関数と一致するという条件から、

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{xp+1}{x-2}$

この条件は、もとの関数と逆関数の係数を比較することでより簡単に解くことができます。

一般に、$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の逆関数は $y = \frac{dx-b}{-cx+a}$ です。

逆関数がもとの関数と一致するとき、$a=d$ であれば良いです。

$y = \frac{2x+1}{x-p}$ の場合、$a=2$, $b=1$, $c=1$, $d=-p$ です。

したがって、$2 = -p$ となるので、$p = -2$ です。

これを $\frac{2x+1}{x-p} = \frac{xp+1}{x-2}$ に代入して確認します。

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{2x+1}{x-(-2)} = \frac{2x+1}{x+2}$

$\frac{xp+1}{x-2} = \frac{x(-2)+1}{x-2} = \frac{-2x+1}{x-2}$

これらは一致しないので、元の方法で計算する必要があります。

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{xp+1}{x-2}$

$(2x+1)(x-2) = (xp+1)(x-p)$

$2x^2 - 4x + x - 2 = x^2p - x p^2 + x - p$

$2x^2 - 3x - 2 = px^2 + (1-p^2)x - p$

この式が任意の $x$ で成り立つためには、両辺の係数が一致する必要があります。

したがって、

$p = 2$

$1-p^2 = -3$

$-p = -2$

$p=2$を代入すると、$1 - 2^2 = 1-4 = -3$ なので、条件を満たします。

3. 最終的な答え

$p = 2$