与えられた2次方程式が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める問題です。 (1) $x^2 + kx + (k+8) = 0$ (2) $4x^2 + (k+3)x + k = 0$

1. 問題の内容

与えられた2次方程式が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める問題です。

(1) $x^2 + kx + (k+8) = 0$

(2) $4x^2 + (k+3)x + k = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が0になることです。

(1) の場合:

$a = 1$, $b = k$, $c = k+8$ なので、

判別式 $D = k^2 - 4(1)(k+8) = k^2 - 4k - 32$

$D = 0$ となる条件を解きます。

$k^2 - 4k - 32 = 0$

$(k-8)(k+4) = 0$

したがって、$k = 8$ または $k = -4$

$k = 8$ のとき、$x^2 + 8x + 16 = 0$ より $(x+4)^2 = 0$ なので、$x = -4$ （重解）

$k = -4$ のとき、$x^2 - 4x + 4 = 0$ より $(x-2)^2 = 0$ なので、$x = 2$ （重解）

(2) の場合:

$a = 4$, $b = k+3$, $c = k$ なので、

判別式 $D = (k+3)^2 - 4(4)(k) = k^2 + 6k + 9 - 16k = k^2 - 10k + 9$

$D = 0$ となる条件を解きます。

$k^2 - 10k + 9 = 0$

$(k-1)(k-9) = 0$

したがって、$k = 1$ または $k = 9$

$k = 1$ のとき、$4x^2 + 4x + 1 = 0$ より $(2x+1)^2 = 0$ なので、$x = -\frac{1}{2}$ （重解）

$k = 9$ のとき、$4x^2 + 12x + 9 = 0$ より $(2x+3)^2 = 0$ なので、$x = -\frac{3}{2}$ （重解）

3. 最終的な答え

(1)

$k = 8$ のとき、重解は $x = -4$

$k = -4$ のとき、重解は $x = 2$

(2)

$k = 1$ のとき、重解は $x = -\frac{1}{2}$

$k = 9$ のとき、重解は $x = -\frac{3}{2}$