$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて、$6^{20}$ の桁数を求めなさい。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて、$6^{20}$ の桁数を求めなさい。

2. 解き方の手順

$6^{20}$ の常用対数を計算します。

$\log_{10}6^{20} = 20 \log_{10}6 = 20 \log_{10}(2 \times 3)$

対数の性質 $\log_{10}(xy) = \log_{10}x + \log_{10}y$ より、

$\log_{10}6^{20} = 20 (\log_{10}2 + \log_{10}3)$

$\log_{10}2$ と $\log_{10}3$ の値を代入します。

$\log_{10}6^{20} = 20 (0.3010 + 0.4771) = 20 (0.7781)$

$\log_{10}6^{20} = 15.562$

$6^{20} = 10^{15.562} = 10^{15} \times 10^{0.562}$

$6^{20} = 10^{15} \times A$ (ただし$1<A<10$) と書けます。

$6^{20}$ の桁数は、$15+1=16$ 桁となります。

3. 最終的な答え

16桁