与えられた不等式 $-2(\log_2 x)^2 + 9\log_2 x < 1$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-2(\log_2 x)^2 + 9\log_2 x < 1$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\log_2 x = t$ とおくと、不等式は $-2t^2 + 9t < 1$ となります。

これを整理すると、$2t^2 - 9t + 1 > 0$ となります。

この2次不等式を解くために、$2t^2 - 9t + 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式を用いると、

$$$$

t = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{73}}{4}

$$$$

となります。

したがって、$t < \frac{9 - \sqrt{73}}{4}$ または $t > \frac{9 + \sqrt{73}}{4}$ となります。

$t = \log_2 x$ を代入すると、$\log_2 x < \frac{9 - \sqrt{73}}{4}$ または $\log_2 x > \frac{9 + \sqrt{73}}{4}$ となります。

これらの不等式を解くために、$x$ について解きます。

$x < 2^{\frac{9 - \sqrt{73}}{4}}$ または $x > 2^{\frac{9 + \sqrt{73}}{4}}$ となります。

また、対数の定義より、$x > 0$ である必要があります。

したがって、$0 < x < 2^{\frac{9 - \sqrt{73}}{4}}$ または $x > 2^{\frac{9 + \sqrt{73}}{4}}$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < x < 2^{\frac{9 - \sqrt{73}}{4}}$ または $x > 2^{\frac{9 + \sqrt{73}}{4}}$