$A^2 = O$ (零行列) となるような2次正方行列 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

$A^2 = O$ (零行列) となるような2次正方行列 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$A$ を2次正方行列とし、

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおく。

$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、以下の連立方程式を得る。

$a^2 + bc = 0$

$ab + bd = 0$ すなわち $b(a+d) = 0$

$ac + cd = 0$ すなわち $c(a+d) = 0$

$bc + d^2 = 0$

(1) $a + d \ne 0$ のとき、$b = 0$ かつ $c = 0$ なので、$a^2 = 0$ かつ $d^2 = 0$ より、$a = 0$ かつ $d = 0$ となる。これは、$a + d = 0$ に矛盾する。

(2) $a + d = 0$ のとき、$d = -a$ である。このとき、

$a^2 + bc = 0$

$bc + d^2 = bc + (-a)^2 = bc + a^2 = 0$

となるので、一つの式、$a^2 + bc = 0$ を満たせばよい。すなわち、$bc = -a^2$。

したがって、

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ (ただし、$a^2 + bc = 0$)

が求める行列である。特に、$a = 0$ ならば $bc = 0$ なので、

$A = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}$

または $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

となる。

例えば、

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ のとき、$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ のとき、$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$, ただし $a^2 + bc = 0$