216 と 540 の正の公約数の和を求めよ。

1. 問題の内容

216 と 540 の正の公約数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、216と540をそれぞれ素因数分解します。

$216 = 2^3 \times 3^3$

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

216と540の最大公約数を求めます。最大公約数は、共通の素因数の最小の指数を取って計算します。

$GCD(216, 540) = 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108$

したがって、216と540の公約数は、108の約数と一致します。次に、108の約数をすべて求めます。

$108 = 2^2 \times 3^3$

108の約数の和は、

$(1 + 2 + 2^2)(1 + 3 + 3^2 + 3^3) = (1+2+4)(1+3+9+27) = (7)(40) = 280$

となります。

3. 最終的な答え

280