(1) 自然数 $n$ と $98$ の最大公約数が $14$ であり、最小公倍数が $392$ であるとき、$n$ を求める。 (2) 自然数 $45$, $63$, $n$ の最大公約数が $9$ であり、最小公倍数が $3150$ であるとき、$n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 自然数 $n$ と $98$ の最大公約数が $14$ であり、最小公倍数が $392$ であるとき、$n$ を求める。

(2) 自然数 $45$, $63$, $n$ の最大公約数が $9$ であり、最小公倍数が $3150$ であるとき、$n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$n$ と $98$ の最大公約数が $14$ なので、$n = 14a$ ($a$ は整数) と表せる。

また、$98 = 14 \times 7$ である。$n$ と $98$ の最小公倍数が $392$ なので、$14a$ と $14 \times 7$ の最小公倍数が $392$ である。

$392 = 14 \times 28 = 14 \times 4 \times 7$ であるから、$a$ と $7$ の最小公倍数が $28$ である。

$a$ と $7$ の最小公倍数が $28$ であるのは、$a = 4$ または $a = 28$ のときである。

$n = 14a$ なので、$n = 14 \times 4 = 56$ または $n = 14 \times 28 = 392$ となる。

もし $n = 392$ とすると、$392 = 98 \times 4$ なので、$n$ と $98$ の最大公約数は $98$ となり、$14$ にならないので矛盾する。

したがって、$n = 56$ である。

$56 = 2^3 \times 7$ であり、$98 = 2 \times 7^2$ なので、最大公約数は $2 \times 7 = 14$ であり、最小公倍数は $2^3 \times 7^2 = 8 \times 49 = 392$ となる。

(2)

$45 = 9 \times 5$ であり、$63 = 9 \times 7$ である。$n = 9k$ ($k$ は整数) とおく。

$45$, $63$, $n$ の最大公約数が $9$ であるので、$5$, $7$, $k$ の最大公約数は $1$ である。

$45$, $63$, $n$ の最小公倍数が $3150$ であるので、$9 \times 5$, $9 \times 7$, $9k$ の最小公倍数が $3150 = 9 \times 350 = 9 \times 2 \times 5^2 \times 7$ である。

$5$, $7$, $k$ の最小公倍数が $350 = 2 \times 5^2 \times 7$ である。

$k = 2 \times 5^2 = 50$ とすると、$5$, $7$, $50$ の最大公約数は $1$ であり、最小公倍数は $2 \times 5^2 \times 7 = 350$ である。

$k = 2 \times 7 = 14$ とすると、$5$, $7$, $14$ の最大公約数は $1$ であり、最小公倍数は $5 \times 7 \times 2 = 70$ である。

$k = 2 \times 5^2 \times 7 = 350$ とすると、$5$, $7$, $350$ の最大公約数は $1$ であり、最小公倍数は $350$ である。

$k = 2$ とすると、$5$, $7$, $2$ の最大公約数は $1$ であり、最小公倍数は $5 \times 7 \times 2 = 70$ である。

$k = 5^2$ とすると、$5$, $7$, $25$ の最大公約数は $1$ であり、最小公倍数は $5^2 \times 7 = 175$ である。

$k = 5^2 \times 7$ とすると、$5$, $7$, $175$ の最大公約数は $1$ であり、最小公倍数は $175$ である。

$k = 2 \times 5^2$ とすると、$n = 9 \times 50 = 450$ である。$45 = 3^2 \times 5$, $63 = 3^2 \times 7$, $450 = 2 \times 3^2 \times 5^2$ なので、最大公約数は $3^2 = 9$ であり、最小公倍数は $2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7 = 2 \times 9 \times 25 \times 7 = 3150$ である。

したがって、$n = 450$ である。

3. 最終的な答え

(1) $n = 56$

(2) $n = 450$