水槽にA管から水を入れると同時にB管から排水する問題です。 * 初期状態では水槽に30リットルの水が入っている。 * A管からは毎分 $a$ リットルの割合で水を入れる。 * B管は水槽内の水の量が80リットルになると開き、毎分 $b$ リットルの割合で排水し、水の量が60リットルになると閉じる。 図2はA管から水を入れ始めてからの時間 $x$ (分)と水槽内の水の量 $y$ (リットル)の関係を表しています。 (1) B管が最初に開いたのは、A管から水を入れ始めて何分後か。 (2) $a$, $b$ の値を求めよ。 (3) A管から水を入れ始めて20分たってから、その後再びB管が開くまで $x$ と $y$ の関係式を求めよ。 (4) A管から水を入れ始めてから1時間の間に、B管は何回開くか。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

水槽にA管から水を入れると同時にB管から排水する問題です。

* 初期状態では水槽に30リットルの水が入っている。

* A管からは毎分 $a$ リットルの割合で水を入れる。

* B管は水槽内の水の量が80リットルになると開き、毎分 $b$ リットルの割合で排水し、水の量が60リットルになると閉じる。

図2はA管から水を入れ始めてからの時間 $x$ (分)と水槽内の水の量 $y$ (リットル)の関係を表しています。

(1) B管が最初に開いたのは、A管から水を入れ始めて何分後か。

(2) $a$, $b$ の値を求めよ。

(3) A管から水を入れ始めて20分たってから、その後再びB管が開くまで $x$ と $y$ の関係式を求めよ。

(4) A管から水を入れ始めてから1時間の間に、B管は何回開くか。

2. 解き方の手順

(1) B管が最初に開く時間

グラフを見ると、A管から水を入れ始めて10分後に水槽内の水の量が80リットルになっているので、B管が最初に開いたのは10分後です。

(2) $a$, $b$ の値を求める

A管のみから水を入れている最初の10分間で、水槽内の水の量が30リットルから80リットルに増加しています。

水の増加量は $80 - 30 = 50$ リットルです。

したがって、A管から毎分 $a$ リットルで水を入れるとすると、

$10a = 50$

$a = 5$ リットル/分

次に、B管が開いてから閉じまでの変化を考えます。B管が開いている時、A管からは毎分5リットル水が入り、B管からは毎分 $b$ リットル水が出て行きます。

グラフより、10分から20分の間に水槽内の水の量が80リットルから60リットルに減少しています。つまり、10分間で20リットル減っています。

$10(5 - b) = -20$

$50 - 10b = -20$

$-10b = -70$

$b = 7$ リットル/分

(3) 20分後から再びB管が開くまで $x$ と $y$ の関係式を求める

20分後の水槽の水の量は60リットルです。再び80リットルになるまでA管から水を入れるので、$y = 5x + c$と置ける。

$60=5*20+c$ではない。

なぜならば、20分後の時間が経ってからの関係式だから。時間を$x'$とおいて、$x'$分たったら$y=5x'+60$。

$x = x' + 20$

$80=5x'+60$

$20=5x'$

$x'=4$

$x = x' + 20=4+20 = 24$。つまり、B管が再び開くのは、24分後。

よって、20分 <= x <= 24分の時、

$y = 5(x-20)+60=5x-100+60=5x-40$

$y=5x-40$

(4) 1時間（60分）の間にB管が開く回数を求める

B管が開くのは80リットルになった時。閉じるのは60リットルになった時。

A管のみの場合、30リットルから80リットルになるまで10分。

A管とB管が開いている場合、80リットルから60リットルになるまで10分。

60リットルから再び80リットルになるまで、A管のみが開いている状態では、毎分5リットルずつ水が増えるので、20リットル増えるのに$20/5 = 4$分かかる。

つまり、B管が開いてから再び開くまでにかかる時間は $10 + 4 = 14$ 分。

1時間(60分)の間でB管が開いている時間の回数は、最初にB管が開くまで10分かかるので、残りの時間は50分。

$50/14 = 3.57...$なので、B管は3回開く。

よって合計回数は$1+3=4$

3. 最終的な答え

(1) 10分後

(2) $a = 5$, $b = 7$

(3) $y=5x-40$ （ただし、$20 \le x \le 24$）

(4) 4回