碁盤の目状の道路があり、点Aから点Bへ行く最短経路のうち、点Cと点Dの両方を通る経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

碁盤の目状の道路があり、点Aから点Bへ行く最短経路のうち、点Cと点Dの両方を通る経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

点Aから点C、点Cから点D、点Dから点Bへの最短経路の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせる。

* 点Aから点Cへの最短経路の数：

AからCへは、右に2回、上に2回移動する必要がある。したがって、最短経路の数は、4回の移動のうち右への移動を2回選ぶ組み合わせの数に等しい。

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\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

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* 点Cから点Dへの最短経路の数：

CからDへは、右に2回、上に1回移動する必要がある。したがって、最短経路の数は、3回の移動のうち右への移動を2回選ぶ組み合わせの数に等しい。

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\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3

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* 点Dから点Bへの最短経路の数：

DからBへは、右に1回、上に2回移動する必要がある。したがって、最短経路の数は、3回の移動のうち右への移動を1回選ぶ組み合わせの数に等しい。

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\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times (2 \times 1)} = 3

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したがって、点Aから点Bへの最短経路で、点Cと点Dの両方を通る経路の数は、

$6 \times 3 \times 3 = 54$ 通り。

ただし、この答えは選択肢にない。問題文を再度確認する。

* 点Aから点Cへの最短経路の数：

AからCへは、右に2回、上に2回移動する必要がある。したがって、最短経路の数は、4回の移動のうち右への移動を2回選ぶ組み合わせの数に等しい。

$$$$

\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

$$$$

* 点Cから点Dへの最短経路の数：

CからDへは、右に1回、上に1回移動する必要がある。したがって、最短経路の数は、2回の移動のうち右への移動を1回選ぶ組み合わせの数に等しい。

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\binom{2}{1} = \frac{2!}{1!1!} = \frac{2 \times 1}{1 \times 1} = 2

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* 点Dから点Bへの最短経路の数：

DからBへは、右に1回、上に2回移動する必要がある。したがって、最短経路の数は、3回の移動のうち右への移動を1回選ぶ組み合わせの数に等しい。

$$$$

\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times (2 \times 1)} = 3

$$$$

したがって、点Aから点Bへの最短経路で、点Cと点Dの両方を通る経路の数は、

$6 \times 2 \times 3 = 36$ 通り。

選択肢がないため、経路の数え方を再度確認する。

AからC：6通り

CからD：2通り

DからB：3通り

したがって、点Aから点Bへの最短経路で、点Cと点Dの両方を通る経路の数は、

$6 \times 2 \times 3 = 36$ 通り。

AからC：6通り

CからD：1通りではないか?

C(2,2) D(3,3) なので、右に1、上に

1. よって $\binom{2}{1}=2$

DからB：3通り

従って $6 \times 2 \times 3 = 36$通り

問題文をよく読むと、CとDどちらも通る経路なので

A→C: 6

C→D: 2

D→B: 3

よって $6 \times 2 \times 3 = 36$

この中に誤りがあるので、再度考えます。

格子を数えると、

A(0,0) C(2,2) D(3,3) B(4,5)

A→C: $\binom{4}{2} = 6$

C→D: $\binom{2}{1} = 2$

D→B: $\binom{3}{1} = 3$

積の法則より $6 \times 2 \times 3 = 36$通り

36は選択肢にない。

3. 最終的な答え

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