$x$ を実数とするとき、不等式 $4^x + 4^{-x} - a(2^{x} + 2^{-x}) + 18 \geq 0$ が常に成り立つような定数 $a$ の範囲を求める問題です。ただし、$2^x + 2^{-x} = t$ とおいて、与えられた不等式を $t$ の式で表す必要があります。

1. 問題の内容

$x$ を実数とするとき、不等式 $4^x + 4^{-x} - a(2^{x} + 2^{-x}) + 18 \geq 0$ が常に成り立つような定数 $a$ の範囲を求める問題です。ただし、$2^x + 2^{-x} = t$ とおいて、与えられた不等式を $t$ の式で表す必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $2^x + 2^{-x} = t$ とおきます。このとき、$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-2x} = 4^x + 2 + 4^{-x}$ となります。

したがって、$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$ となります。

これを与えられた不等式に代入すると、

$t^2 - 2 - at + 18 \geq 0$

$t^2 - at + 16 \geq 0$

となります。

(2) 不等式 $t^2 - at + 16 \geq 0$ が常に成り立つような $a$ の範囲を求めます。

まず、$t = 2^x + 2^{-x}$ の取りうる値の範囲を考えます。相加相乗平均の関係より、$2^x + 2^{-x} \geq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$ となります。したがって、$t \geq 2$ です。

次に、$f(t) = t^2 - at + 16$ とおきます。不等式 $f(t) \geq 0$ が $t \geq 2$ で常に成り立つためには、次の2つの条件のどちらかを満たせば良いです。

(a) $f(t) = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = a^2 - 4 \cdot 16 = a^2 - 64 \leq 0$ のとき。このとき、$a^2 \leq 64$ より、$-8 \leq a \leq 8$ となります。

(b) $f(t) = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ のとき、$f(t)=0$ の2解 $\alpha, \beta$ が存在して，$t \geq 2$ の範囲で常に $f(t) \geq 0$ となる条件を考えます。

$f(t)$ の軸は $t = \frac{a}{2}$ です。

$f(2) = 4 - 2a + 16 = 20 - 2a \geq 0$ ならば、$f(t) \geq 0$ となります。

$20 - 2a \geq 0$ より、$a \leq 10$ となります。

軸が $t=2$ より小さいとき、$\frac{a}{2} < 2$ なので $a < 4$

このとき$f(2) \ge 0$で条件を満たす。

軸が $t=2$ より大きい時、$\frac{a}{2} \ge 2$ なので $a \ge 4$

このとき$\alpha, \beta > 2$なので$a/2>2$ $f(a/2) \ge 0$つまり$a^2-80 \le 0$が条件となる。

$4 \leq a \leq 8$となります。

(a) の範囲と (b) の範囲を合わせると、$a \leq 8$ になります。

3. 最終的な答え

$a \leq 8$