与えられた等式 $2x^2 - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

## 問題１

1. 問題の内容

与えられた等式 $2x^2 - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理します。

\begin{align*}

a(x-1)^2 + b(x-1) + c &= a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c \\

&= ax^2 - 2ax + a + bx - b + c \\

&= ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)

\end{align*}

したがって、$2x^2 - 1 = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$ が恒等式となるためには、両辺の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

つまり、次の3つの式が成り立ちます。

\begin{align*}

a &= 2 \\

-2a+b &= 0 \\

a-b+c &= -1

\end{align*}

これらの式を解きます。

まず、$a=2$ が得られます。

次に、$-2a+b=0$ に $a=2$ を代入すると、$-2(2)+b=0$ より $b=4$ が得られます。

最後に、$a-b+c = -1$ に $a=2$ と $b=4$ を代入すると、$2-4+c = -1$ より $-2+c=-1$ となり、$c=1$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a=2, b=4, c=1$

## 問題２

1. 問題の内容

与えられた等式 $3x^2 + 8x + 2 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理します。

\begin{align*}

a(x+1)^2 + b(x+1) + c &= a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c \\

&= ax^2 + 2ax + a + bx + b + c \\

&= ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)

\end{align*}

したがって、$3x^2 + 8x + 2 = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$ が恒等式となるためには、両辺の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

つまり、次の3つの式が成り立ちます。

\begin{align*}

a &= 3 \\

2a+b &= 8 \\

a+b+c &= 2

\end{align*}

これらの式を解きます。

まず、$a=3$ が得られます。

次に、$2a+b=8$ に $a=3$ を代入すると、$2(3)+b=8$ より $6+b=8$ となり、$b=2$ が得られます。

最後に、$a+b+c=2$ に $a=3$ と $b=2$ を代入すると、$3+2+c=2$ より $5+c=2$ となり、$c=-3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a=3, b=2, c=-3$

## 問題３

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^2 = a(x-2)^2 + b(x+3)^2 + c(x+2)(x+3)$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理します。

\begin{align*}

a(x-2)^2 + b(x+3)^2 + c(x+2)(x+3) &= a(x^2 - 4x + 4) + b(x^2 + 6x + 9) + c(x^2 + 5x + 6) \\

&= ax^2 - 4ax + 4a + bx^2 + 6bx + 9b + cx^2 + 5cx + 6c \\

&= (a+b+c)x^2 + (-4a+6b+5c)x + (4a+9b+6c)

\end{align*}

したがって、$x^2 = (a+b+c)x^2 + (-4a+6b+5c)x + (4a+9b+6c)$ が恒等式となるためには、両辺の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

つまり、次の3つの式が成り立ちます。

\begin{align*}

a+b+c &= 1 \\

-4a+6b+5c &= 0 \\

4a+9b+6c &= 0

\end{align*}

これらの式を解きます。

1つ目の式から $a=1-b-c$ を得ます。

これを2つ目の式に代入すると $-4(1-b-c)+6b+5c = 0$ より $-4+4b+4c+6b+5c=0$ となり $10b+9c=4$ が得られます。

同様に3つ目の式に代入すると $4(1-b-c)+9b+6c = 0$ より $4-4b-4c+9b+6c=0$ となり $5b+2c=-4$ が得られます。

ここで、 $10b+9c=4$ と $5b+2c=-4$ という二つの式が得られたので、これらの式を連立させて解きます。

$5b+2c=-4$ より $10b+4c=-8$ を得ます。

したがって $(10b+9c)-(10b+4c) = 4 - (-8)$ より $5c = 12$ となり $c=\frac{12}{5}$ が得られます。

$5b+2(\frac{12}{5}) = -4$ より $5b + \frac{24}{5} = -4$ となり $5b = -\frac{44}{5}$ なので $b=-\frac{44}{25}$ が得られます。

$a=1-b-c = 1+\frac{44}{25}-\frac{12}{5} = 1+\frac{44}{25}-\frac{60}{25} = 1-\frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a=\frac{9}{25}, b=-\frac{44}{25}, c=\frac{12}{5}$