兄と弟がそれぞれお金を持っていて、毎日一定の金額を使う。兄は弟の2倍の金額を使う。初日の残額の比は14:11、2日目の残額の比は6:5。ある日、2人の残額が同じになった。その日は何日目か？

1. 問題の内容

兄と弟がそれぞれお金を持っていて、毎日一定の金額を使う。兄は弟の2倍の金額を使う。初日の残額の比は14:11、2日目の残額の比は6:5。ある日、2人の残額が同じになった。その日は何日目か？

2. 解き方の手順

まず、兄の最初の所持金を $A$、弟の最初の所持金を $B$ とし、弟が毎日使う金額を $x$ とすると、兄は毎日 $2x$ 使うことになる。

初日の残額の比は14:11なので、

$A - 2x = 14k$

$B - x = 11k$

と表せる。（$k$ は比例定数）

2日目の残額の比は6:5なので、

$A - 2(2x) = 6l$

$B - 2x = 5l$

と表せる。（$l$ は比例定数）

まず、$A$と$B$をそれぞれ$x, k$を使って表す。

$A = 2x + 14k$

$B = x + 11k$

次に、$A$と$B$をそれぞれ$x, l$を使って表す。

$A = 4x + 6l$

$B = 2x + 5l$

したがって、

$2x + 14k = 4x + 6l$

$x + 11k = 2x + 5l$

整理すると、

$2x = 14k - 6l$

$x = 11k - 5l$

これより、

$2(11k - 5l) = 14k - 6l$

$22k - 10l = 14k - 6l$

$8k = 4l$

$l = 2k$

したがって、$x = 11k - 5(2k) = 11k - 10k = k$

つまり、$x = k$ なので、

$A = 2x + 14x = 16x$

$B = x + 11x = 12x$

$n$ 日目の残額は、兄が $A - 2nx$ 、弟が $B - nx$ となる。

ある日、残額が同じになるので、

$A - 2nx = B - nx$

$16x - 2nx = 12x - nx$

$4x = nx$

$n = 4$

3. 最終的な答え

4日目