因数定理を用いて、整式 $x^4 + x^3 - 4x^2 + 2x - 12$ を因数分解する。

1. 問題の内容

因数定理を用いて、整式 $x^4 + x^3 - 4x^2 + 2x - 12$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$P(x) = x^4 + x^3 - 4x^2 + 2x - 12$ とおきます。

因数定理より、$P(a) = 0$ となる $a$ が見つかれば、$x-a$ は $P(x)$ の因数となります。

定数項-12の約数から $a$ の候補を探します。約数とは、$\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$です。

$P(1) = 1 + 1 - 4 + 2 - 12 = -12 \neq 0$

$P(-1) = 1 - 1 - 4 - 2 - 12 = -18 \neq 0$

$P(2) = 16 + 8 - 16 + 4 - 12 = 0$

よって、$x-2$ は $P(x)$ の因数であることがわかります。

組み立て除法を用いて、$P(x)$ を $x-2$ で割ります。

```

1 1 -4 2 -12

2 | 2 6 4 12

---------------------

1 3 2 6 0

```

したがって、

$P(x) = (x-2)(x^3 + 3x^2 + 2x + 6)$

となりました。

次に、$Q(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 6$ を因数分解することを考えます。

定数項6の約数から $a$ の候補を探します。約数とは、$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$です。

$Q(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 + 2(-3) + 6 = -27 + 27 - 6 + 6 = 0$

よって、$x+3$ は $Q(x)$ の因数であることがわかります。

組み立て除法を用いて、$Q(x)$ を $x+3$ で割ります。

```

1 3 2 6

-3 | -3 0 -6

----------------

1 0 2 0

```

したがって、

$Q(x) = (x+3)(x^2 + 0x + 2) = (x+3)(x^2 + 2)$

となりました。

よって、$P(x) = (x-2)(x+3)(x^2 + 2)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x+3)(x^2+2)$