与えられた不等式 $x^2 - 2x - 15 > 0$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^2 - 2x - 15 > 0$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、二次不等式 $x^2 - 2x - 15 > 0$ を解くために、左辺の二次式を因数分解します。

$x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$

したがって、不等式は次のようになります。

$(x - 5)(x + 3) > 0$

次に、$(x - 5)(x + 3) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは、$x = 5$ および $x = -3$ です。これらの値は、不等式の解の境界となります。

数直線上で、$-3$ と $5$ の位置をマークします。これにより、数直線は３つの区間に分割されます：

* $x < -3$

* $-3 < x < 5$

* $x > 5$

各区間について、$(x - 5)(x + 3)$ の符号を調べます。

* $x < -3$ の場合：例えば、$x = -4$ を選びます。このとき、$(x - 5) = (-4 - 5) = -9$ であり、$(x + 3) = (-4 + 3) = -1$ です。したがって、$(x - 5)(x + 3) = (-9)(-1) = 9 > 0$ です。

* $-3 < x < 5$ の場合：例えば、$x = 0$ を選びます。このとき、$(x - 5) = (0 - 5) = -5$ であり、$(x + 3) = (0 + 3) = 3$ です。したがって、$(x - 5)(x + 3) = (-5)(3) = -15 < 0$ です。

* $x > 5$ の場合：例えば、$x = 6$ を選びます。このとき、$(x - 5) = (6 - 5) = 1$ であり、$(x + 3) = (6 + 3) = 9$ です。したがって、$(x - 5)(x + 3) = (1)(9) = 9 > 0$ です。

不等式 $(x - 5)(x + 3) > 0$ を満たすのは、$x < -3$ または $x > 5$ の場合です。

3. 最終的な答え

$x < -3$ または $x > 5$