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$x = 1$ のとき: $2(1)^4 - 5(1)^3 - 5(1)^2 + 5(1) + 3 = 2 - 5 - 5 + 5 + 3 = 0$ よって、$x - 1$ は因数である。 $x = -1$ のとき: $2(-1)^4 - 5(-1)^3 - 5(-1)^2 + 5(-1) + 3 = 2 + 5 - 5 - 5 + 3 = 0$ よって、$x + 1$ は因数である。

代数学因数分解因数定理4次式
2025/4/28
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1. 問題の内容

与えられた2つの4次式を因数定理を用いて因数分解する。
(1) 2x4−5x3−5x2+5x+32x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3
(2) 6x4+x3−24x2−9x+106x^4 + x^3 - 24x^2 - 9x + 10
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2. 解き方の手順

### (1) 2x4−5x3−5x2+5x+32x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3 の因数分解

1. 因数定理より、与式が $(x - a)$ を因数に持つならば、$x = a$ を代入したときに式が0になる。定数項が3なので、$\pm 1$, $\pm 3$ を試してみる。

x=1x = 1 のとき: 2(1)4−5(1)3−5(1)2+5(1)+3=2−5−5+5+3=02(1)^4 - 5(1)^3 - 5(1)^2 + 5(1) + 3 = 2 - 5 - 5 + 5 + 3 = 0
よって、x−1x - 1 は因数である。
x=−1x = -1 のとき: 2(−1)4−5(−1)3−5(−1)2+5(−1)+3=2+5−5−5+3=02(-1)^4 - 5(-1)^3 - 5(-1)^2 + 5(-1) + 3 = 2 + 5 - 5 - 5 + 3 = 0
よって、x+1x + 1 は因数である。

2. 組み立て除法または筆算で、$2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3$ を $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ で割る。

もしくは、因数定理より (x−1)(x-1)と(x+1)(x+1)を因数に持つことがわかっているので、(x−1)(x+1)(ax2+bx+c) (x-1)(x+1)(ax^2+bx+c) の形で表せるはずである。
2x4−5x3−5x2+5x+3=(x−1)(x+1)(ax2+bx+c)=(x2−1)(ax2+bx+c)2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3 = (x-1)(x+1)(ax^2+bx+c) = (x^2 - 1)(ax^2+bx+c)
右辺を展開し、x4x^4の係数と定数項を比較すると、a=2,−c=3⇔c=−3 a = 2, -c = 3 \Leftrightarrow c = -3 がわかる。
よって、(x2−1)(2x2+bx−3) (x^2 - 1)(2x^2 + bx - 3) となる。
さらに、x3x^3の係数を比較すると、b=−5b = -5 となる。
したがって、
2x4−5x3−5x2+5x+3=(x2−1)(2x2−5x−3)2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3 = (x^2 - 1)(2x^2 - 5x - 3)

3. $2x^2 - 5x - 3$ を因数分解する。

2x2−5x−3=(2x+1)(x−3)2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)

4. 以上をまとめると、$2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3 = (x - 1)(x + 1)(2x + 1)(x - 3)$

### (2) 6x4+x3−24x2−9x+106x^4 + x^3 - 24x^2 - 9x + 10 の因数分解

1. 因数定理より、与式が $(x - a)$ を因数に持つならば、$x = a$ を代入したときに式が0になる。定数項が10なので、$\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 5$, $\pm 10$, $\pm 1/2, \pm 1/3, \pm 1/6, \pm 2/3, \pm 5/2, \pm 5/3, \pm 5/6, \pm 10/3$ などを試してみる。

x=1x = 1 のとき: 6(1)4+(1)3−24(1)2−9(1)+10=6+1−24−9+10=−16≠06(1)^4 + (1)^3 - 24(1)^2 - 9(1) + 10 = 6 + 1 - 24 - 9 + 10 = -16 \neq 0
x=−1x = -1 のとき: 6(−1)4+(−1)3−24(−1)2−9(−1)+10=6−1−24+9+10=06(-1)^4 + (-1)^3 - 24(-1)^2 - 9(-1) + 10 = 6 - 1 - 24 + 9 + 10 = 0
よって、x+1x + 1 は因数である。
x=2x = 2 のとき: 6(2)4+(2)3−24(2)2−9(2)+10=96+8−96−18+10=06(2)^4 + (2)^3 - 24(2)^2 - 9(2) + 10 = 96 + 8 - 96 - 18 + 10 = 0
よって、x−2x - 2 は因数である。

2. 組み立て除法または筆算で、$6x^4 + x^3 - 24x^2 - 9x + 10$ を $(x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$ で割る。

6x4+x3−24x2−9x+10=(x2−x−2)(6x2+7x−5)6x^4 + x^3 - 24x^2 - 9x + 10 = (x^2 - x - 2)(6x^2 + 7x - 5)

3. $6x^2 + 7x - 5$ を因数分解する。

6x2+7x−5=(2x−1)(3x+5)6x^2 + 7x - 5 = (2x - 1)(3x + 5)

4. 以上をまとめると、$6x^4 + x^3 - 24x^2 - 9x + 10 = (x + 1)(x - 2)(2x - 1)(3x + 5)$

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3. 最終的な答え

(1) (x−1)(x+1)(2x+1)(x−3)(x - 1)(x + 1)(2x + 1)(x - 3)
(2) (x+1)(x−2)(2x−1)(3x+5)(x + 1)(x - 2)(2x - 1)(3x + 5)

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