AB=ACである二等辺三角形ABCの外接円上に、DA=DBとなる点Dを、直線ABに関して点Cと反対側に取る。三角形ABCの内接円の半径を$p$、三角形DABの内接円の半径を$q$、角ABC=$2\theta$とする。 (1) $\frac{p}{AB}$を$\theta$で表せ。 (2) $\frac{q}{AB}$を$\theta$で表せ。 (3) $p=q$となる$\theta$が存在するならば、そのときの$\cos\theta$を求めよ。

1. 問題の内容

AB=ACである二等辺三角形ABCの外接円上に、DA=DBとなる点Dを、直線ABに関して点Cと反対側に取る。三角形ABCの内接円の半径を$p$、三角形DABの内接円の半径を$q$、角ABC=$2\theta$とする。

(1) $\frac{p}{AB}$を$\theta$で表せ。

(2) $\frac{q}{AB}$を$\theta$で表せ。

(3) $p=q$となる$\theta$が存在するならば、そのときの$\cos\theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{p}{AB}$を$\theta$で表す。

AB=ACなので、角BAC= $180^\circ - 4\theta$より、角BAC = $\pi - 4\theta$である。

三角形ABCの面積をSとすると、

$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin(\pi - 4\theta) = \frac{1}{2}AB^2 \sin(4\theta)$

また、$S = \frac{1}{2}p(AB+BC+CA) = \frac{1}{2}p(2AB + BC)$

ここで、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin(\pi - 4\theta)} = \frac{AB}{\sin(2\theta)}$

$BC = \frac{AB \sin(4\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{AB \cdot 2\sin(2\theta)\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = 2AB\cos(2\theta)$

したがって、$S = \frac{1}{2}p(2AB + 2AB\cos(2\theta)) = pAB(1+\cos(2\theta))$

よって、$pAB(1+\cos(2\theta)) = \frac{1}{2}AB^2 \sin(4\theta)$

$\frac{p}{AB} = \frac{\sin(4\theta)}{2(1+\cos(2\theta))} = \frac{2\sin(2\theta)\cos(2\theta)}{2(2\cos^2\theta)} = \frac{\sin(2\theta)\cos(2\theta)}{2\cos^2\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta\cos(2\theta)}{2\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta\cos(2\theta)}{\cos\theta}$

$\frac{p}{AB} = \tan\theta \cos(2\theta)$

(2) $\frac{q}{AB}$を$\theta$で表す。

DA=DBより、三角形DABは二等辺三角形である。

角ADB = 角ACB = $4\theta$

角DAB = 角DBA = $\frac{\pi - 4\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - 2\theta$

三角形DABの面積をTとすると、

$T = \frac{1}{2}DA \cdot DB \cdot \sin(4\theta) = \frac{1}{2}DA^2 \sin(4\theta)$

また、$T = \frac{1}{2}q(DA+DB+AB) = \frac{1}{2}q(2DA+AB)$

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin(4\theta)} = \frac{DA}{\sin(\frac{\pi}{2}-2\theta)} = \frac{DA}{\cos(2\theta)}$

$DA = \frac{AB\cos(2\theta)}{\sin(4\theta)}$

$T = \frac{1}{2}q(2\frac{AB\cos(2\theta)}{\sin(4\theta)} + AB) = \frac{1}{2}qAB(\frac{2\cos(2\theta)}{\sin(4\theta)} + 1)$

$T = \frac{1}{2}AB \cdot AB \cdot \frac{\cos^2(2\theta)}{\sin^2(4\theta)} \sin(4\theta) = \frac{1}{2}AB^2\frac{\cos^2(2\theta)}{\sin(4\theta)}$

$\frac{1}{2}qAB(\frac{2\cos(2\theta)}{\sin(4\theta)} + 1) = \frac{1}{2}AB^2\frac{\cos^2(2\theta)}{\sin(4\theta)}$

$q (\frac{2\cos(2\theta)+\sin(4\theta)}{\sin(4\theta)}) = AB \frac{\cos^2(2\theta)}{\sin(4\theta)}$

$\frac{q}{AB} = \frac{\cos^2(2\theta)}{2\cos(2\theta) + \sin(4\theta)} = \frac{\cos^2(2\theta)}{2\cos(2\theta) + 2\sin(2\theta)\cos(2\theta)} = \frac{\cos(2\theta)}{2(1+\sin(2\theta))} = \frac{\cos(2\theta)}{2( (\sin\theta + \cos\theta)^2 -2 \sin \theta \cos \theta +1)}$

$\frac{q}{AB} = \frac{\cos(2\theta)}{2+2\sin(2\theta)}$

別の方法

$T = \frac{1}{2}AB \cdot AD \sin(\pi/2-2\theta) = \frac{1}{2} AB AD \cos(2\theta)$

$T = \frac{1}{2}AB (\frac{AB\cos(2\theta)}{\sin(4\theta)}) \cos(2\theta) = \frac{AB^2 \cos^2(2\theta)}{2\sin(4\theta)}$

$q = \frac{2T}{AB+AD+DB} = \frac{AB^2 \cos^2(2\theta)/\sin(4\theta)}{AB+2AD} = \frac{AB^2 \cos^2(2\theta)/\sin(4\theta)}{AB + 2(AB \cos(2\theta)/\sin(4\theta))} = \frac{AB \cos^2(2\theta)}{\sin(4\theta) + 2\cos(2\theta)}$

$\frac{q}{AB} = \frac{\cos^2(2\theta)}{\sin(4\theta) + 2\cos(2\theta)} = \frac{\cos^2(2\theta)}{2\sin(2\theta)\cos(2\theta) + 2\cos(2\theta)} = \frac{\cos(2\theta)}{2\sin(2\theta) + 2} = \frac{\cos(2\theta)}{2(\sin(2\theta) + 1)}$

(3) $p=q$となる$\theta$が存在するならば、そのときの$\cos\theta$を求めよ。

$\frac{p}{AB} = \frac{q}{AB}$なので、$\tan\theta \cos(2\theta) = \frac{\cos(2\theta)}{2(\sin(2\theta)+1)}$

$\cos(2\theta) = 0$のとき、$2\theta = \frac{\pi}{2}$より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

$\cos\theta = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(2\theta) \neq 0$のとき、$\tan\theta = \frac{1}{2(\sin(2\theta)+1)}$

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{2(2\sin\theta\cos\theta+1)}$

$2\sin\theta\cos\theta(2\sin\theta\cos\theta+1) = \cos\theta$

$\sin\theta(4\sin\theta\cos\theta+2) = 1$

$2\sin\theta(2\sin\theta\cos\theta+1) = 1$

$4\sin^2\theta\cos\theta+2\sin\theta = 1$

$\tan\theta = \frac{1}{2+2\sin(2\theta)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{p}{AB} = \tan\theta \cos(2\theta)$

(2) $\frac{q}{AB} = \frac{\cos(2\theta)}{2(\sin(2\theta) + 1)}$

(3) $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$