三角比に関する4つの問題が出題されています。 (1) 直角三角形の図から、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。 (2) $\theta$ が鈍角で $\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ を求める。 (4) $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

1. 問題の内容

三角比に関する4つの問題が出題されています。

(1) 直角三角形の図から、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。

(2) $\theta$ が鈍角で $\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ を求める。

(4) $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

(1) 図の三角形において、三平方の定理より $AC = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$ 。したがって、

$\sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ 。$\theta$ が鈍角なので、$\sin \theta > 0$ 。したがって、$\sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ 。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3) (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = 60^\circ$ と $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ 。

(2) $\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ は、$\theta = 135^\circ$ 。

(4) $\sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta$ を用いると、$\sin 115^\circ = \sin (180^\circ - 115^\circ) = \sin 65^\circ$ 。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3) (1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$ (2) $\theta = 135^\circ$

(4) $\sin 115^\circ = \sin 65^\circ$