点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ に直交する平面の方程式は、 $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ で表されます。 与えられた点 $(-1, 3, 2)$ とベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ を代入すると、 $2(x + 1) + 4(y - 3) - (z - 2) = 0$ $2x + 2 + 4y - 12 - z + 2 = 0$ $2x + 4y - z - 8 = 0$ したがって、求める平面の方程式は $2x + 4y - z = 8$

## 課題02 の解答

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1. 問題の内容

この問題は、以下の5つの小問から構成されています。

(1) 点 $(-1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ に直交する平面を求め、その平面と原点および点 $(-1, 2, 2)$ との距離 $l_0, l_1$ を求める。

(2) 点 $(1, 2, -3)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ に直交する平面を求め、その平面と原点および点 $(3, 1, -2)$ との距離 $l_0, l_1$ を求める。

(3) 点 $(3, 6, -2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ に平行な直線を求める。

(4) 点 $(3, -4, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線を求める。

(5) 2点 $A(6, -4, 1), B(4, -5, 3)$ を通る直線を求める。

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2. 解き方の手順

**(1)**

1. 平面の方程式：

点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ に直交する平面の方程式は、

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ で表されます。

与えられた点 $(-1, 3, 2)$ とベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ を代入すると、

$2(x + 1) + 4(y - 3) - (z - 2) = 0$

$2x + 2 + 4y - 12 - z + 2 = 0$

$2x + 4y - z - 8 = 0$

したがって、求める平面の方程式は

$2x + 4y - z = 8$

2. 原点との距離 $l_0$：

平面 $ax + by + cz + d = 0$ と点 $(x_1, y_1, z_1)$ の距離は、

$l = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ で求められます。

原点 $(0, 0, 0)$ と平面 $2x + 4y - z - 8 = 0$ の距離は、

$l_0 = \frac{|2(0) + 4(0) - (0) - 8|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$

3. 点 $(-1, 2, 2)$ との距離 $l_1$：

点 $(-1, 2, 2)$ と平面 $2x + 4y - z - 8 = 0$ の距離は、

$l_1 = \frac{|2(-1) + 4(2) - (2) - 8|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 + 8 - 2 - 8|}{\sqrt{21}} = \frac{|-4|}{\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}}$

**(2)**

1. 平面の方程式：

点 $(1, 2, -3)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ に直交する平面の方程式は、

$-1(x - 1) + 3(y - 2) + 2(z + 3) = 0$

$-x + 1 + 3y - 6 + 2z + 6 = 0$

$-x + 3y + 2z + 1 = 0$

したがって、求める平面の方程式は

$-x + 3y + 2z = -1$

2. 原点との距離 $l_0$：

原点 $(0, 0, 0)$ と平面 $-x + 3y + 2z + 1 = 0$ の距離は、

$l_0 = \frac{|-(0) + 3(0) + 2(0) + 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$

3. 点 $(3, 1, -2)$ との距離 $l_1$：

点 $(3, 1, -2)$ と平面 $-x + 3y + 2z + 1 = 0$ の距離は、

$l_1 = \frac{|-(3) + 3(1) + 2(-2) + 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|-3 + 3 - 4 + 1|}{\sqrt{14}} = \frac{|-3|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$

**(3)**

1. 直線のベクトル方程式：

点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ に平行な直線のベクトル方程式は、

$\vec{p} = \vec{p_0} + t\vec{a}$

ここで、$\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $\vec{p_0} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}$ であり、$t$ はパラメータです。

2. 直線のパラメータ表示：

点 $(3, 6, -2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ に平行な直線のパラメータ表示は、

$x = 3 - 3t$

$y = 6 + 2t$

$z = -2 + 3t$

**(4)**

1. 直線のベクトル方程式：

点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ に平行な直線のベクトル方程式は、

$\vec{p} = \vec{p_0} + t\vec{a}$

ここで、$\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $\vec{p_0} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}$ であり、$t$ はパラメータです。

2. 直線のパラメータ表示：

点 $(3, -4, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線のパラメータ表示は、

$x = 3 - 2t$

$y = -4 + t$

$z = 2 + 4t$

**(5)**

1. 直線のベクトル方程式：

2点 $A(x_1, y_1, z_1)$ と $B(x_2, y_2, z_2)$ を通る直線のベクトル方程式は、

$\vec{p} = \vec{OA} + t\vec{AB}$

ここで、$\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $\vec{OA} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$, $\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix}$ であり、$t$ はパラメータです。

2. ベクトル $\vec{AB}$ の計算：

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 6 \\ -5 - (-4) \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

3. 直線のパラメータ表示：

点 $A(6, -4, 1)$ を通り、ベクトル $\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ に平行な直線のパラメータ表示は、

$x = 6 - 2t$

$y = -4 - t$

$z = 1 + 2t$

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3. 最終的な答え

**(1)**

* 平面の方程式：$2x + 4y - z = 8$

* 原点との距離 $l_0 = \frac{8}{\sqrt{21}}$

* 点 $(-1, 2, 2)$ との距離 $l_1 = \frac{4}{\sqrt{21}}$

**(2)**

* 平面の方程式：$-x + 3y + 2z = -1$

* 原点との距離 $l_0 = \frac{1}{\sqrt{14}}$

* 点 $(3, 1, -2)$ との距離 $l_1 = \frac{3}{\sqrt{14}}$

**(3)**

* 直線のパラメータ表示：

$x = 3 - 3t$

$y = 6 + 2t$

$z = -2 + 3t$

**(4)**

* 直線のパラメータ表示：

$x = 3 - 2t$

$y = -4 + t$

$z = 2 + 4t$

**(5)**

* 直線のパラメータ表示：

$x = 6 - 2t$

$y = -4 - t$

$z = 1 + 2t$