## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

(1) 点A(-1, -1)と点B(4, 4)を通り、中心が直線 $y = 2x - 9$ 上にある円の方程式を求める。

(2) 点(5, 1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 13$ に接する直線のうち、傾きが正である直線の方程式を求める。

(3) 円 $(x - a)^2 + y^2 = a$ ($a > 0$) と直線 $x - 2y = 0$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 円の方程式を求める**

円の中心を $(p, 2p - 9)$ とおく。円の方程式は $(x - p)^2 + (y - (2p - 9))^2 = r^2$ と表せる。

点A, Bを通ることから、

$(-1 - p)^2 + (-1 - (2p - 9))^2 = r^2$

$(4 - p)^2 + (4 - (2p - 9))^2 = r^2$

これを整理すると、

$(-1 - p)^2 + (8 - 2p)^2 = (4 - p)^2 + (13 - 2p)^2$

$(1 + 2p + p^2) + (64 - 32p + 4p^2) = (16 - 8p + p^2) + (169 - 52p + 4p^2)$

$5p^2 - 30p + 65 = 5p^2 - 60p + 185$

$30p = 120$

$p = 4$

したがって、円の中心は $(4, 2(4) - 9) = (4, -1)$ となる。

$r^2 = (4 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2 = 5^2 + 0 = 25$

よって、求める円の方程式は、$(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 25$ となる。

**(2) 接線の方程式を求める**

点(5, 1)を通る直線のうち、傾きが正であるものを求める。

直線の傾きを $m$ とすると、直線の方程式は $y - 1 = m(x - 5)$、すなわち $y = mx - 5m + 1$ と表せる。

円 $x^2 + y^2 = 13$ の中心(0, 0)と直線 $mx - y - 5m + 1 = 0$ の距離が円の半径 $\sqrt{13}$ に等しいとき、直線は円に接する。

したがって、

$\frac{|m(0) - (0) - 5m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{13}$

$\frac{|-5m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{13}$

両辺を2乗して整理すると、

$(-5m + 1)^2 = 13(m^2 + 1)$

$25m^2 - 10m + 1 = 13m^2 + 13$

$12m^2 - 10m - 12 = 0$

$6m^2 - 5m - 6 = 0$

$(2m - 3)(3m + 2) = 0$

$m = \frac{3}{2}, -\frac{2}{3}$

傾きが正であるから、$m = \frac{3}{2}$ となる。

よって、求める直線の方程式は $y = \frac{3}{2}x - 5(\frac{3}{2}) + 1 = \frac{3}{2}x - \frac{15}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}x - \frac{13}{2}$

または $2y = 3x - 13$、つまり $3x - 2y - 13 = 0$

**(3) aの値の範囲を求める**

円 $(x - a)^2 + y^2 = a$ と直線 $x - 2y = 0$ が異なる2点で交わる条件を求める。

直線 $x = 2y$ を円の方程式に代入すると、

$(2y - a)^2 + y^2 = a$

$4y^2 - 4ay + a^2 + y^2 = a$

$5y^2 - 4ay + a^2 - a = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ でなければならない。

$D = (-4a)^2 - 4(5)(a^2 - a) = 16a^2 - 20a^2 + 20a = -4a^2 + 20a > 0$

$-4a(a - 5) > 0$

$a(a - 5) < 0$

$a > 0$ より、$0 < a < 5$

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3. 最終的な答え

(1) $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 25$

(2) $3x - 2y - 13 = 0$

(3) $0 < a < 5$