与えられた三角関数の和または差を積の形に変形します。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $\sin 3\theta + \sin \theta$ (2) $\cos 2\theta + \cos 4\theta$ (3) $\cos \theta - \cos 5\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の和または差を積の形に変形します。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $\sin 3\theta + \sin \theta$

(2) $\cos 2\theta + \cos 4\theta$

(3) $\cos \theta - \cos 5\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 3\theta + \sin \theta$ の場合：

和積の公式 $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用います。

$A = 3\theta$, $B = \theta$ とすると、

$\sin 3\theta + \sin \theta = 2 \sin \frac{3\theta + \theta}{2} \cos \frac{3\theta - \theta}{2}$

$= 2 \sin \frac{4\theta}{2} \cos \frac{2\theta}{2}$

$= 2 \sin 2\theta \cos \theta$

(2) $\cos 2\theta + \cos 4\theta$ の場合：

和積の公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用います。

$A = 2\theta$, $B = 4\theta$ とすると、

$\cos 2\theta + \cos 4\theta = 2 \cos \frac{2\theta + 4\theta}{2} \cos \frac{2\theta - 4\theta}{2}$

$= 2 \cos \frac{6\theta}{2} \cos \frac{-2\theta}{2}$

$= 2 \cos 3\theta \cos (-\theta)$

$\cos (-\theta) = \cos \theta$ より、

$= 2 \cos 3\theta \cos \theta$

(3) $\cos \theta - \cos 5\theta$ の場合：

和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用います。

$A = \theta$, $B = 5\theta$ とすると、

$\cos \theta - \cos 5\theta = -2 \sin \frac{\theta + 5\theta}{2} \sin \frac{\theta - 5\theta}{2}$

$= -2 \sin \frac{6\theta}{2} \sin \frac{-4\theta}{2}$

$= -2 \sin 3\theta \sin (-2\theta)$

$\sin (-2\theta) = -\sin 2\theta$ より、

$= -2 \sin 3\theta (-\sin 2\theta)$

$= 2 \sin 3\theta \sin 2\theta$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 3\theta + \sin \theta = 2 \sin 2\theta \cos \theta$

(2) $\cos 2\theta + \cos 4\theta = 2 \cos 3\theta \cos \theta$

(3) $\cos \theta - \cos 5\theta = 2 \sin 3\theta \sin 2\theta$