(3) 座標平面上の3点(0, 0), (3, 3), (1, a)を頂点とする三角形の面積が9であるとき、aの値を求めよ。 (4) 座標平面上に4点A(a, b), B(-1, 0), C(2, 1), D(0, 2)がある。 [1] 点Dが三角形ABCの重心となるとき, a, bの値を求めよ。 [2] 三角形ABCにおいて∠B=90°で、点Dが辺AC上にあるとき、a, bの値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文に沿って丁寧に回答します。

1. 問題の内容

(3) 座標平面上の3点(0, 0), (3, 3), (1, a)を頂点とする三角形の面積が9であるとき、aの値を求めよ。

(4) 座標平面上に4点A(a, b), B(-1, 0), C(2, 1), D(0, 2)がある。

[1] 点Dが三角形ABCの重心となるとき, a, bの値を求めよ。

[2] 三角形ABCにおいて∠B=90°で、点Dが辺AC上にあるとき、a, bの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

三角形の面積は、ベクトルを用いて計算できます。

2つのベクトルを$\vec{p} = (3, 3)$, $\vec{q} = (1, a)$ とすると、三角形の面積は

$S = \frac{1}{2} |3a - 3| = \frac{3}{2} |a-1|$ と表せます。

面積が9なので、

$\frac{3}{2} |a-1| = 9$

$|a-1| = 6$

$a-1 = 6$ または $a-1 = -6$

$a = 7$ または $a = -5$

(4) [1]

重心の座標は、各頂点の座標の平均なので、

$\frac{a + (-1) + 2}{3} = 0$

$\frac{b + 0 + 1}{3} = 2$

$a + 1 = 0$ より、$a = -1$

$b + 1 = 6$ より、$b = 5$

(4) [2]

∠B=90°なので、ベクトル$\vec{BA}$と$\vec{BC}$の内積は0です。

$\vec{BA} = (a+1, b)$

$\vec{BC} = (3, 1)$

$(a+1) \cdot 3 + b \cdot 1 = 0$

$3a + 3 + b = 0$

$b = -3a - 3$

点D(0, 2)が辺AC上にあるので、ベクトル$\vec{AD}$と$\vec{AC}$は平行です。

$\vec{AD} = (-a, 2-b)$

$\vec{AC} = (2-a, 1-b)$

$\frac{-a}{2-a} = \frac{2-b}{1-b}$

$-a(1-b) = (2-a)(2-b)$

$-a + ab = 4 - 2a - 2b + ab$

$a + 2b = 4$

ここで、$b = -3a - 3$を代入すると、

$a + 2(-3a - 3) = 4$

$a - 6a - 6 = 4$

$-5a = 10$

$a = -2$

$b = -3(-2) - 3 = 6 - 3 = 3$

3. 最終的な答え

(3) $a = 7, -5$

(4) [1] $a = -1, b = 5$

(4) [2] $a = -2, b = 3$