$\alpha$ が第4象限の角で、$\cos \alpha = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \alpha$, $\cos \frac{\alpha}{2}$, $\tan \frac{\alpha}{2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\alpha$ が第4象限の角で、$\cos \alpha = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \alpha$, $\cos \frac{\alpha}{2}$, $\tan \frac{\alpha}{2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \alpha$ の値を求めます。$\alpha$ は第4象限の角なので、$\sin \alpha < 0$ です。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sin \alpha < 0$ なので、$\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ です。

(2) $\cos \frac{\alpha}{2}$ の値を求めます。$\alpha$ が第4象限の角なので、$270^\circ < \alpha < 360^\circ$ です。したがって、$135^\circ < \frac{\alpha}{2} < 180^\circ$ となり、$\frac{\alpha}{2}$ は第2象限の角なので、$\cos \frac{\alpha}{2} < 0$ です。

$\cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$ より、

$2\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{3}$

$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos \frac{\alpha}{2} < 0$ なので、$\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ です。

(3) $\tan \frac{\alpha}{2}$ の値を求めます。$\frac{\alpha}{2}$ は第2象限の角なので、$\tan \frac{\alpha}{2} < 0$ です。

$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1$ より、

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{\alpha}{2}$ は第2象限の角なので、$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$ です。よって、$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$