直角二等辺三角形 $ABC$ において、$\angle A = 90^\circ$ である。頂点 $A$ を通る直線 $l$ があり、点 $B, C$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E$ とする。このとき、$BD + CE = DE$ を証明する。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形 $ABC$ において、$\angle A = 90^\circ$ である。頂点 $A$ を通る直線 $l$ があり、点 $B, C$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E$ とする。このとき、$BD + CE = DE$ を証明する。

2. 解き方の手順

三角形 $ABD$ と三角形 $CAE$ において、

* $\angle ADB = \angle CEA = 90^\circ$ （$BD$ と $CE$ は $l$ への垂線）

* $AB = CA$ （三角形 $ABC$ は直角二等辺三角形）

* $\angle BAD = 90^\circ - \angle CAE$

* $\angle ACE = 90^\circ - \angle CAE = \angle BAD$

したがって、$\angle BAD = \angle ACE$ である。

上記より、三角形 $ABD$ と三角形 $CAE$ は斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので、合同である。

すなわち、$\triangle ABD \equiv \triangle CAE$。

合同な三角形であることから、

$BD = AE$

$AD = CE$

が成り立つ。

ここで、$DE = DA + AE$ であるから、上記の式を代入すると

$DE = CE + BD$

したがって、$BD + CE = DE$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$BD + CE = DE$