円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 6$, $BC = 9$, $CD = 5$, $DA = 6$であるとき、以下の値を求める問題です。 (1) $\cos B$ (2) 対角線ACの長さ

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 6$, $BC = 9$, $CD = 5$, $DA = 6$であるとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\cos B$

(2) 対角線ACの長さ

2. 解き方の手順

(1) $\cos B$を求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$D = 180^\circ - B$である。三角形ABCと三角形ADCにおいて、余弦定理を用いて$AC^2$を2通りで表し、cos Bを求める。

三角形ABCにおいて、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$より

$AC^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos B = 36 + 81 - 108 \cos B = 117 - 108 \cos B$

三角形ADCにおいて、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D$より

$AC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos (180^\circ - B) = 36 + 25 - 60(-\cos B) = 61 + 60 \cos B$

よって、$117 - 108 \cos B = 61 + 60 \cos B$

$168 \cos B = 56$

$\cos B = \frac{56}{168} = \frac{1}{3}$

(2) 対角線ACの長さを求める。

(1)より$\cos B = \frac{1}{3}$なので、$AC^2 = 117 - 108 \cos B = 117 - 108 \cdot \frac{1}{3} = 117 - 36 = 81$

したがって、$AC = \sqrt{81} = 9$

3. 最終的な答え

(1) $\cos B = \frac{1}{3}$

(2) $AC = 9$