$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$とする。$\sin \alpha = \frac{4}{5}$、$\sin \beta = \frac{12}{13}$のとき、次の値を求めよ。 (1) $\cos \alpha, \cos \beta$ (2) $\sin (\alpha + \beta)$ (3) $\sin (\alpha - \beta)$ (4) $\cos (\alpha + \beta)$ (5) $\cos (\alpha - \beta)$

はい、承知いたしました。Work 4の問題を解きます。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$とする。$\sin \alpha = \frac{4}{5}$、$\sin \beta = \frac{12}{13}$のとき、次の値を求めよ。

(1) $\cos \alpha, \cos \beta$

(2) $\sin (\alpha + \beta)$

(3) $\sin (\alpha - \beta)$

(4) $\cos (\alpha + \beta)$

(5) $\cos (\alpha - \beta)$

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\cos \beta$ を求める。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$なので、$\cos \alpha > 0$。

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$なので、$\cos \beta < 0$。

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$

$\cos \beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$

(1) $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = -\frac{5}{13}$

次に、加法定理を用いて、$\sin (\alpha + \beta)$, $\sin (\alpha - \beta)$, $\cos (\alpha + \beta)$, $\cos (\alpha - \beta)$を求める。

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = (\frac{4}{5})(-\frac{5}{13}) + (\frac{3}{5})(\frac{12}{13}) = -\frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{16}{65}$

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = (\frac{4}{5})(-\frac{5}{13}) - (\frac{3}{5})(\frac{12}{13}) = -\frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{56}{65}$

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (\frac{3}{5})(-\frac{5}{13}) - (\frac{4}{5})(\frac{12}{13}) = -\frac{15}{65} - \frac{48}{65} = -\frac{63}{65}$

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = (\frac{3}{5})(-\frac{5}{13}) + (\frac{4}{5})(\frac{12}{13}) = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \alpha = \frac{3}{5}, \cos \beta = -\frac{5}{13}$

(2) $\sin (\alpha + \beta) = \frac{16}{65}$

(3) $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{56}{65}$

(4) $\cos (\alpha + \beta) = -\frac{63}{65}$

(5) $\cos (\alpha - \beta) = \frac{33}{65}$