放物線 $C: y = ax^2$ と直線 $l: y = bx + 4$ が点 $A(-2, 2)$ で交わっている。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $C$ と $l$ の $A$ 以外の交点 $B$ の座標を求める。 (3) 原点 $O$ を通り $l$ に平行な直線 $m$ と $C$ の $O$ 以外の交点 $P$ を求める。点 $Q$ は $y$ 軸上の点。$\triangle OBP : \triangle OAQ = 1:3$ となるような直線 $AQ$ の式をすべて求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = ax^2$ と直線 $l: y = bx + 4$ が点 $A(-2, 2)$ で交わっている。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $C$ と $l$ の $A$ 以外の交点 $B$ の座標を求める。

(3) 原点 $O$ を通り $l$ に平行な直線 $m$ と $C$ の $O$ 以外の交点 $P$ を求める。点 $Q$ は $y$ 軸上の点。$\triangle OBP : \triangle OAQ = 1:3$ となるような直線 $AQ$ の式をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(-2, 2)$ が放物線 $C$ 上にあるので、

$2 = a(-2)^2$

$2 = 4a$

$a = \frac{1}{2}$

点 $A(-2, 2)$ が直線 $l$ 上にあるので、

$2 = b(-2) + 4$

$2 = -2b + 4$

$2b = 2$

$b = 1$

(2) $C: y = \frac{1}{2}x^2$ と $l: y = x + 4$ の交点を求める。

$\frac{1}{2}x^2 = x + 4$

$x^2 = 2x + 8$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x - 4)(x + 2) = 0$

$x = 4, -2$

$x = -2$ は点 $A$ なので、$x = 4$ が点 $B$ の $x$ 座標。

$y = x + 4$ に $x = 4$ を代入すると、

$y = 4 + 4 = 8$

よって、$B(4, 8)$

(3) 直線 $l: y = x + 4$ に平行で原点を通る直線 $m$ の式は、$y = x$

$C: y = \frac{1}{2}x^2$ と $m: y = x$ の交点を求める。

$\frac{1}{2}x^2 = x$

$x^2 = 2x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

$x = 0$ は原点なので、$x = 2$ が点 $P$ の $x$ 座標。

$y = x$ に $x = 2$ を代入すると、$y = 2$

よって、$P(2, 2)$

点 $Q$ は $y$ 軸上の点なので、$Q(0, q)$ とおく。

$\triangle OBP$ の面積は、$\frac{1}{2} | (4 \times 0 + 2 \times 8 + 0 \times 0) - (0 \times 2 + 4 \times 8 + 0 \times 0) | = \frac{1}{2} | 16 - 32 | = \frac{1}{2} \times 16 = 8$

$\triangle OAQ$ の面積は、$\frac{1}{2} | (-2 \times q + 0 \times 2 + 0 \times 0) - (0 \times 2 - 2 \times 0 + q \times 0)| = \frac{1}{2} |-2q| = |q|$

$\triangle OBP : \triangle OAQ = 1 : 3$ より、

$8 : |q| = 1 : 3$

$|q| = 24$

$q = \pm 24$

よって、$Q(0, 24)$ または $Q(0, -24)$

直線 $AQ$ は、

$Q(0, 24)$ のとき、$y = \frac{24-2}{0-(-2)}x + 24 = \frac{22}{2}x + 24 = 11x + 24$

$Q(0, -24)$ のとき、$y = \frac{-24-2}{0-(-2)}x - 24 = \frac{-26}{2}x - 24 = -13x - 24$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$, $b = 1$

(2) $B(4, 8)$

(3) $y = 11x + 24$, $y = -13x - 24$