2点Aの位置ベクトルを$\vec{a}$、点Bの位置ベクトルを$\vec{b}$とする。線分ABを3:2に内分する点、および1:3に外分する点の位置ベクトルを、$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

2点Aの位置ベクトルを$\vec{a}$、点Bの位置ベクトルを$\vec{b}$とする。線分ABを3:2に内分する点、および1:3に外分する点の位置ベクトルを、$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを3:2に内分する点の位置ベクトルを$\vec{p}$とする。内分点の公式より、

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\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}

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(2) 線分ABを1:3に外分する点の位置ベクトルを$\vec{q}$とする。外分点の公式より、

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\vec{q} = \frac{-3\vec{a} + 1\vec{b}}{1-3} = \frac{-3\vec{a} + \vec{b}}{-2} = \frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}

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3. 最終的な答え

(1) 3:2に内分する点の位置ベクトル: $\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$

(2) 1:3に外分する点の位置ベクトル: $\frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$