直線 $ax + by + c = 0$ ($ab \neq 0$) と $y$ 軸上で垂直に交わる直線を $y = px + q$ とするとき、$p$ と $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $ax + by + c = 0$ ($ab \neq 0$) と $y$ 軸上で垂直に交わる直線を $y = px + q$ とするとき、$p$ と $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線 $ax + by + c = 0$ を $y$ について解き、$y = mx + n$ の形にする。

$by = -ax - c$

$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$

この直線の傾きは $-\frac{a}{b}$ である。

直線 $y = px + q$ が直線 $ax + by + c = 0$ と $y$ 軸上で垂直に交わるので、2つの直線の傾きの積は $-1$ になる。

$p \cdot \left(-\frac{a}{b}\right) = -1$

$p = \frac{b}{a}$

また、$y$ 軸上で交わるということは、$y$ 切片が等しいということである。

直線 $ax + by + c = 0$ の $y$ 切片は $-\frac{c}{b}$ であり、直線 $y = px + q$ の $y$ 切片は $q$ である。

よって、$q = -\frac{c}{b}$ となる。

3. 最終的な答え

$p = \frac{b}{a}$

$q = -\frac{c}{b}$