3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x=3$ で極値 $-27$ をとるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x=3$ で極値 $-27$ をとるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x=3$ で極値をとるので、$f'(3) = 0$ が成り立ちます。

$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

これに $x=3$ を代入すると、

$f'(3) = 3(3)^2 + 2a(3) + b = 27 + 6a + b = 0$

よって、

$6a + b = -27$ ...(1)

(2) $f(x)$ は $x=3$ で極値 $-27$ をとるので、$f(3) = -27$ が成り立ちます。

$f(3) = (3)^3 + a(3)^2 + b(3) = 27 + 9a + 3b = -27$

よって、

$9a + 3b = -54$

$3a + b = -18$ ...(2)

(3) (1)式と(2)式を連立して解きます。

(1): $6a + b = -27$

(2): $3a + b = -18$

(1) - (2) より、

$3a = -9$

$a = -3$

(4) $a = -3$ を (2) に代入すると、

$3(-3) + b = -18$

$-9 + b = -18$

$b = -9$

3. 最終的な答え

$a = -3$