与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$ と $(x-1)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x+1)^2(x-1)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$

ここで、$A = x^2 + 1$ と置くと、この式は $(A + 2x)(A - 2x)$ と書けます。

これは $(A + 2x)(A - 2x) = A^2 - (2x)^2 = A^2 - 4x^2$ となります。

$A$ を元に戻すと、

$(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

または、

$(x+1)(x-1)=x^2-1$

より

$(x+1)^2(x-1)^2 = [(x+1)(x-1)]^2 = (x^2-1)^2 = (x^2)^2-2x^2+1=x^4-2x^2+1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2 + 1$