(1) 整式 $2x^3 + 7x^2 + 6x + 11$ を整式 $B(x)$ で割ると、商が $x+3$ で余りが $2$ であるとき、$B(x)$ を求める。 (2) 整式 $3x^3 + 4x^2 - 12x$ を整式 $B(x)$ で割ると、商が $3x-2$ で余りが $x-6$ であるとき、$B(x)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 整式 $2x^3 + 7x^2 + 6x + 11$ を整式 $B(x)$ で割ると、商が $x+3$ で余りが $2$ であるとき、$B(x)$ を求める。

(2) 整式 $3x^3 + 4x^2 - 12x$ を整式 $B(x)$ で割ると、商が $3x-2$ で余りが $x-6$ であるとき、$B(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 割り算の基本公式より、

$2x^3 + 7x^2 + 6x + 11 = B(x)(x+3) + 2$

よって、

$B(x)(x+3) = 2x^3 + 7x^2 + 6x + 11 - 2 = 2x^3 + 7x^2 + 6x + 9$

$B(x) = \frac{2x^3 + 7x^2 + 6x + 9}{x+3}$

筆算または組み立て除法を用いて、 $2x^3 + 7x^2 + 6x + 9$ を $x+3$ で割ると、

商は $2x^2 + x + 3$ となり、余りは $0$ である。

したがって、 $B(x) = 2x^2 + x + 3$

(2) 割り算の基本公式より、

$3x^3 + 4x^2 - 12x = B(x)(3x-2) + (x-6)$

よって、

$B(x)(3x-2) = 3x^3 + 4x^2 - 12x - (x-6) = 3x^3 + 4x^2 - 13x + 6$

$B(x) = \frac{3x^3 + 4x^2 - 13x + 6}{3x-2}$

筆算または組み立て除法を用いて、 $3x^3 + 4x^2 - 13x + 6$ を $3x-2$ で割ると、

商は $x^2 + 2x - 3$ となり、余りは $0$ である。

したがって、 $B(x) = x^2 + 2x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $B(x) = 2x^2 + x + 3$

(2) $B(x) = x^2 + 2x - 3$