与えられた式 $(3a-2)^2(3a+2)^2$ を展開して簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(3a-2)^2(3a+2)^2$ を展開して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$(3a-2)^2$ と $(3a+2)^2$ をそれぞれ展開します。

$(3a-2)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(2) + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$

$(3a+2)^2 = (3a)^2 + 2(3a)(2) + 2^2 = 9a^2 + 12a + 4$

次に、これらの結果を元の式に代入して計算します。

$(3a-2)^2(3a+2)^2 = (9a^2 - 12a + 4)(9a^2 + 12a + 4)$

ここで、$A = 9a^2 + 4$ とおくと、上の式は $(A - 12a)(A + 12a)$ と書けます。

これは $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(A - 12a)(A + 12a) = A^2 - (12a)^2 = (9a^2 + 4)^2 - (12a)^2$

$(9a^2 + 4)^2$ を展開すると、

$(9a^2 + 4)^2 = (9a^2)^2 + 2(9a^2)(4) + 4^2 = 81a^4 + 72a^2 + 16$

$(12a)^2 = 144a^2$

したがって、

$(9a^2 + 4)^2 - (12a)^2 = 81a^4 + 72a^2 + 16 - 144a^2 = 81a^4 - 72a^2 + 16$

3. 最終的な答え

$81a^4 - 72a^2 + 16$