関数 $y=x^2$ のグラフ上に、x座標がそれぞれ-2, 3となる点A, Bをとる。 (1) 直線ABの式を求める。 (2) △AOBの面積を求める。 (3) y軸上の点で、△AOB = △POBとなるような点Pの座標を求める。ただし、点Pのy座標は正とする。

1. 問題の内容

関数 $y=x^2$ のグラフ上に、x座標がそれぞれ-2, 3となる点A, Bをとる。

(1) 直線ABの式を求める。

(2) △AOBの面積を求める。

(3) y軸上の点で、△AOB = △POBとなるような点Pの座標を求める。ただし、点Pのy座標は正とする。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

Aのx座標は-2なので、$y = (-2)^2 = 4$。よって、Aの座標は(-2, 4)

Bのx座標は3なので、$y = (3)^2 = 9$。よって、Bの座標は(3, 9)

直線ABの式を $y=ax+b$ とおく。

A(-2, 4)を通るので、$4 = -2a + b$

B(3, 9)を通るので、$9 = 3a + b$

2つの式を連立して解く。

$9 = 3a + b$

$4 = -2a + b$

上の式から下の式を引くと、

$5 = 5a$

$a = 1$

$4 = -2(1) + b$

$4 = -2 + b$

$b = 6$

よって、直線ABの式は $y = x + 6$

(2) △AOBの面積を求める。

直線ABの式は $y = x + 6$ なので、y軸との交点は(0, 6)である。これを点Cとする。

△AOBの面積は、△AOCの面積と△BOCの面積の和である。

△AOCの面積は、底辺OC = 6, 高さ2なので、面積は $\frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$

△BOCの面積は、底辺OC = 6, 高さ3なので、面積は $\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$

よって、△AOBの面積は $6 + 9 = 15$

(3) △AOB = △POBとなる点Pの座標を求める。

△AOBの面積は15。

点Pはy軸上にあるので、点Pの座標を(0, p)とおく。ただし、$p > 0$。

△POBの面積は、底辺OP = p, 高さ3なので、面積は $\frac{1}{2} \times p \times 3 = \frac{3}{2}p$

$\frac{3}{2}p = 15$

$3p = 30$

$p = 10$

よって、点Pの座標は(0, 10)

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 6$

(2) 15

(3) (0, 10)